5東北大学 2011年 数学 第5問解答・解説

(1) $z\ne0$ なので元の式に z を掛けると $$z^2+z-a=0.$$ $\Delta=1+4a$ とおけば、$\Delta\ge0$ のとき $z=(-1\pm\sqrt\Delta)/2$、$\Delta<0$ のとき $z=(-1\pm i\sqrt{-\Delta})/2$ である。$a=0$ のときだけ一方の根が0となるため、それを除いて $z=-1$ のみを残す。

(2) $z\ne0$ なので式に z を掛けて $$z\bar z+z-a=0.$$ $z=x+iy$ とおくと、$x^2+y^2+x-a+iy=0$ である。虚部から $y=0$、実部から $x^2+x-a=0$ を得る。この二次方程式が実数解をもつ条件は判別式 $1+4a\ge0$、すなわち $a\ge-1/4$ である。$a=0$ のときも根 $x=-1$ が使えるので、非零条件を満たす解が存在する範囲は $a\ge-1/4$ である。

(3) $z\ne0$ なので式に z を掛けると $$z^2\bar z^2+z\bar z-a=0.$$ $t=z\bar z=|z|^2$ とおくと $t>0$ かつ $t^2+t=a$ である。左辺は $t>0$ で正なので必要条件は $a>0$。逆に $a>0$ なら $t=(-1+\sqrt{1+4a})/2>0$ とでき、$|z|^2=t$ となる非零複素数（例えば $z=\sqrt t$）を選べば元の式を満たす。したがって条件は $a>0$ である。