3九州大学 2005年 数学 第3問解答・解説

(1)

$t$ を実数の定数とし，2次方程式 $$z^{2}+tz+t=0$$ の判別式を $D$ とすると $$D=t^{2}-4t=t(t-4).$$

この方程式が異なる2つの虚数解（実数でない解）をもつための必要十分条件は $D<0$ である。実際，$D>0$ のときは異なる2つの実数解，$D=0$ のときは実数の重解となり，いずれも虚数解ではないから，$D<0$ の場合に限られる。

$D=t(t-4)<0$ を解くと $$0<t<4.$$

このとき，解の公式より $$\displaystyle z=\frac{-t\pm\sqrt{D}}{2}=\frac{-t\pm\sqrt{-(4t-t^{2})}}{2}=\frac{-t\pm i\sqrt{4t-t^{2}}}{2} =-\frac{t}{2}\pm\frac{i}{2}\sqrt{4t-t^{2}}.$$

（$0<t<4$ より $4t-t^{2}=t(4-t)>0$ であるから根号の中身は正である。）

結論： $0<t<4$ のとき，かつそのときに限り異なる2つの虚数解をもち，そのときの解は $$\displaystyle z=-\frac{t}{2}\pm\frac{i}{2}\sqrt{4t-t^{2}}\qquad(複号同順,\ 0<t<4)$$ の2つである。

(2)

$0<t<4$ のとき，(1)の2つの解は実係数2次方程式の非実数解であるから互いに共役である。虚部が正の方を $z=z(t)$ とすると，もう一方の解は $\bar z$ である。

解と係数の関係より $$z+\bar z=-t,\qquad z\bar z=t.$$

両式から $t$ を消去すると $$z+\bar z=-z\bar z \quad\text{すなわち}\quad z\bar z+z+\bar z+1=1 \quad\text{すなわち}\quad (z+1)(\bar z+1)=1.$$

$\bar z+1=\overline{z+1}$ であるから，左辺は $(z+1)\overline{(z+1)}=|z+1|^{2}$ に等しく， $$|z+1|^{2}=1\quad\text{すなわち}\quad |z+1|=1.$$

よって点 $z(t)$ は，中心 $-1$（座標 $(-1,0)$），半径 $1$ の円周上にある。さらに $z(t)$ の虚部は正である（定義より）から，$z(t)$ はこの円のうち実軸より上側の部分にある。

逆に，実部 $\displaystyle x=\operatorname{Re}z(t)=-\dfrac{t}{2}$ は $0<t<4$ の範囲で連続であり、$t$ が増えると $x=-t/2$ は減少する。また，$t\to0$ で $x\to0$，$t\to4$ で $x\to-2$ となるから，$x$ は $-2<x<0$ のすべての値をちょうど1回ずつとる。円の上半分は $y=\sqrt{1-(x+1)^{2}}\ (-2<x<0)$ により、$x$ ごとに $y$ がただ一つに定まる関数のグラフであるから，$t$ が $0<t<4$ の範囲を動くとき，$z(t)$ はこの円の上半分（両端点 $(0,0)$，$(-2,0)$ を除く）をちょうど1回ずつなぞる。

結論： 図形 $C$ は $$|z+1|=1\quad\text{かつ}\quad \operatorname{Im}z>0$$ で表される，中心 $-1$，半径 $1$ の円のうち上半分（実軸との交点 $z=0,\,z=-2$ を除く）である。

図示： 複素数平面上に中心 $(-1,0)$，半径 $1$ の円をかき，実軸より上側の半円を実線で描く。円と実軸の交点である $(0,0)$ と $(-2,0)$ には，含まれないことを示す白丸をつける。

(3)

$C$ 上の点 $z$（$z\neq-1$，実際 $C$ 上では常に $z\neq-1$）に対して $$\displaystyle w=\frac{iz}{z+1}$$ とする。$w$ について整理すると $$\displaystyle w(z+1)=iz\ \quad\text{すなわち}\quad\ wz+w=iz\ \quad\text{すなわち}\quad\ z(w-i)=-w\ \quad\text{すなわち}\quad\ z=\frac{w}{i-w}\qquad(w\neq i).$$

このとき $$\displaystyle z+1=\frac{w}{i-w}+1=\frac{w+(i-w)}{i-w}=\frac{i}{i-w}.$$

$|z+1|=1$ に代入すると，$|i-w|=|w-i|$ より $$\displaystyle \left|\frac{i}{i-w}\right|=1\ \quad\text{すなわち}\quad\ |i|=|w-i|\ \quad\text{すなわち}\quad\ |w-i|=1.$$

よって $w$ は中心 $i$（座標 $(0,1)$），半径 $1$ の円周上にある。

次に，$\operatorname{Im}z>0$ が $w$ にどう対応するかを調べる。$w=X+iY$（$X,Y$ は実数）とおくと $$\displaystyle z=\frac{w}{i-w}=\frac{X+iY}{-X+i(1-Y)}.$$

分母の共役 $-X-i(1-Y)$ を分子・分母に掛けると，分母は $$(-X)^{2}+(1-Y)^{2}=X^{2}+(Y-1)^{2}=|w-i|^{2},$$

分子は $$(X+iY)\bigl(-X-i(1-Y)\bigr)=-X^{2}-iX(1-Y)-iXY+Y(1-Y)=\bigl(-X^{2}+Y-Y^{2}\bigr)-iX.$$

よって $$\displaystyle z=\frac{(-X^{2}-Y^{2}+Y)-iX}{X^{2}+(Y-1)^{2}},\qquad \operatorname{Im}z=\frac{-X}{X^{2}+(Y-1)^{2}}.$$

今，$w$ は円 $|w-i|=1$ 上にあるから $X^{2}+(Y-1)^{2}=1$ であり，したがって $$\operatorname{Im}z=-X.$$

ゆえに $$\operatorname{Im}z>0\ \quad\text{すなわち}\quad\ -X>0\ \quad\text{すなわち}\quad\ X<0\ \quad\text{すなわち}\quad\ \operatorname{Re}w<0.$$

端点についても確認する。$t\to0$（$z\to0$）に対応する $w$ の値は $\displaystyle w=\dfrac{i\cdot0}{0+1}=0$，$t\to4$（$z\to-2$）に対応する値は $\displaystyle w=\dfrac{i(-2)}{-2+1}=2i$ であり，いずれも実部 $0$ の境界点であるから，これらも除かれる。

また，$C$ 上では $z\neq-1$ であり、上の式により $w$ から $z$ がただ一つに定まるので，$C$ の開弧（両端点を除く上半円）は，像である開弧（両端点 $0,\,2i$ を除く左半円）の上へ過不足なく写る。（実際，$z=-1+e^{i\theta}\ (0<\theta<\pi)$ とパラメータ表示すると $w=-\sin\theta+i(1-\cos\theta)$ となり，$\theta$ が $0<\theta<\pi$ の範囲を動くとき $(X,Y)=(-\sin\theta,\,1-\cos\theta)$ は左半円を両端点を除いてちょうど1回ずつなぞることからも確かめられる。）

結論： 点 $w$ が描く図形は $$|w-i|=1\quad\text{かつ}\quad \operatorname{Re}w<0$$ で表される，中心 $i$，半径 $1$ の円のうち左半分（虚軸との交点 $w=0,\,w=2i$ を除く）である。

図示： 複素数平面上に中心 $(0,1)$，半径 $1$ の円をかき，虚軸より左側の半円を実線で描く。円と虚軸の交点である $0$ と $2i$ には，含まれないことを示す白丸をつける。