4九州大学 2005年 数学 第4問解答・解説

以下，$[x]$ は実数 $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表し，$0<\theta<\pi$ とする。　 (1)　 $0<\theta<\pi$ のとき $-1<\cos\theta<1$ であるから $$\displaystyle \frac{3}{2}<\frac{5}{2}+\cos\theta<\frac{7}{2}$$ が成り立つ。したがって $\displaystyle \left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta\right]$ のとり得る値は $1,\,2,\,3$ のいずれかであり，$\cos\theta$ は $0<\theta<\pi$ で単調減少であることから，対応する $\theta$ の範囲は次のようになる。　 ・$\displaystyle \left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta\right]=3$ となるのは $\displaystyle 3\le\dfrac{5}{2}+\cos\theta<3.5$，すなわち $\displaystyle \dfrac12\le\cos\theta<1$ のときで，これは $\displaystyle 0<\theta\leqq\dfrac{\pi}{3}$ に対応する。　 ・$\displaystyle \left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta\right]=2$ となるのは $\displaystyle -\dfrac12\le\cos\theta<\dfrac12$ のときで，$\displaystyle \dfrac{\pi}{3}<\theta\leqq\dfrac{2\pi}{3}$ に対応する。　 ・$\displaystyle \left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta\right]=1$ となるのは $\displaystyle -1<\cos\theta<-\dfrac12$ のときで，$\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}<\theta<\pi$ に対応する。　 真数 $\displaystyle \left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta\right]$ は正の整数であり，$\log_2$ は底が $2>1$ の増加関数だから $$\displaystyle \log_2\left[\frac{5}{2}+\cos\theta\right]\leqq1 \quad\text{すなわち}\quad \left[\frac{5}{2}+\cos\theta\right]\leqq2$$ である。ゆえに上の場合分けのうち値が $2$ または $1$ となる範囲，すなわち $\displaystyle \theta>\dfrac{\pi}{3}$ を満たす部分をあわせて，求める範囲は $$\displaystyle \boxed{\dfrac{\pi}{3}<\theta<\pi}$$ である（境界 $\displaystyle \theta=\dfrac{\pi}{3}$ では値が $3$ になり不等式を満たさないので除く）。　 (2)　 $\displaystyle w=\dfrac{3}{2}+\log_2\sin\theta$ とおく。一般に整数 $n$ に対し，実数 $w$ について $$[w]\geqq n \quad\text{すなわち}\quad w\geqq n$$ が成り立つ（$[w]\geqq n$ ならば当然 $w\geqq[w]\geqq n$。逆に $w\geqq n$ ならば $[w]$ は $w$ を超えない最大の整数だから $[w]\geqq n$）。よって $$\displaystyle [w]\geqq1 \quad\text{すなわち}\quad w\geqq1 \quad\text{すなわち}\quad \log_2\sin\theta\geqq-\frac12 \quad\text{すなわち}\quad \sin\theta\geqq2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt2}$$ （$\log_2$ は増加関数であることを用いた）。$0<\theta<\pi$ において $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ であり，$\sin\theta$ は $\displaystyle 0<\theta\le\dfrac{\pi}{2}$ で増加，$\displaystyle \dfrac{\pi}{2}\le\theta<\pi$ で減少するから，$\displaystyle \sin\theta\geqq\dfrac{1}{\sqrt2}$ となるのは $$\displaystyle \boxed{\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{4}}$$ のときである。　 (3)　 (1)で得た場合分けにしたがって，左辺 $\displaystyle A(\theta)=\log_2\left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta\right]$ の値は $$\displaystyle A(\theta)= \begin{cases} \log_2 3 & \left(0<\theta\leqq\dfrac{\pi}{3}\right)\\[2mm] 1 & \left(\dfrac{\pi}{3}<\theta\leqq\dfrac{2\pi}{3}\right)\\[2mm] 0 & \left(\dfrac{2\pi}{3}<\theta<\pi\right) \end{cases}$$ である。右辺は $\displaystyle B(\theta)=\left[\dfrac{3}{2}+\log_2\sin\theta\right]=[w]$（$w$ は(2)のもの）で，整数値をとる。不等式 $A(\theta)\leqq B(\theta)$ を上の3つの場合に分けて調べる。　 (i) $\displaystyle 0<\theta\leqq\dfrac{\pi}{3}$ のとき：$A(\theta)=\log_2 3\;(\approx1.585)$ であり，$B(\theta)$ は整数だから $A(\theta)\leqq B(\theta)$ は $B(\theta)\geqq2$，すなわち $\displaystyle [w]\geqq2\quad\text{すなわち}\quad w\geqq2\quad\text{すなわち}\quad\log_2\sin\theta\geqq\dfrac12\quad\text{すなわち}\quad\sin\theta\geqq\sqrt2$ と同値であるが，常に $\sin\theta\leqq1<\sqrt2$ だから，この範囲に解はない。　 (ii) $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}<\theta\leqq\dfrac{2\pi}{3}$ のとき：$A(\theta)=1$ であり，$A(\theta)\leqq B(\theta)$ は $\displaystyle [w]\geqq1\quad\text{すなわち}\quad\sin\theta\geqq\dfrac{1}{\sqrt2}$（(2)の結果）と同値。(2)より $\displaystyle \sin\theta\geqq\dfrac{1}{\sqrt2}$ となるのは $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{4}$ であり，これは今の範囲 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}<\theta\le\dfrac{2\pi}{3}$ を完全に含む（$\displaystyle \dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{3}$，$\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}<\dfrac{3\pi}{4}$）。よってこの区間の $\theta$ はすべて条件を満たす。　 (iii) $\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}<\theta<\pi$ のとき：$A(\theta)=0$ であり，$A(\theta)\leqq B(\theta)$ は $$\displaystyle [w]\geqq0\quad\text{すなわち}\quad w\geqq0\quad\text{すなわち}\quad\log_2\sin\theta\geqq-\frac32\quad\text{すなわち}\quad\sin\theta\geqq2^{-3/2}=\frac{1}{2\sqrt2}$$ と同値。ここで題意の角 $\displaystyle \alpha\ \left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2},\ \sin\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt2}\right)$ を用いると，条件は $\sin\theta\geqq\sin\alpha$ となる。$\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}<\theta<\pi$ なら $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ である。この範囲ではまず $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ かつ $\displaystyle 0<\pi-\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で，正弦は角が $0$ より大きく $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ より小さい範囲で増加だから $$\sin\theta\geqq\sin\alpha \quad\text{すなわち}\quad \sin(\pi-\theta)\geqq\sin\alpha \quad\text{すなわち}\quad \pi-\theta\geqq\alpha \quad\text{すなわち}\quad \theta\leqq\pi-\alpha$$ である。さらに $\displaystyle \sin\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt2}<\dfrac{\sqrt3}{2}=\sin\dfrac{\pi}{3}$ かつ $\alpha$ と $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$ はいずれも $0$ より大きく $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ より小さいので、この範囲で $\sin$ が増加であることから $\displaystyle \alpha<\dfrac{\pi}{3}$，したがって $\displaystyle \pi-\alpha>\dfrac{2\pi}{3}$ が確かめられ，範囲 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}<\theta\le\pi-\alpha$ は今の場合分け $\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}<\theta<\pi$ の中に収まる。　 以上(i)(ii)(iii)をあわせると，解となる $\theta$ の範囲は $$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta\le\frac{2\pi}{3}\quad\text{または}\quad\frac{2\pi}{3}<\theta\le\pi-\alpha$$ すなわち $$\displaystyle \boxed{\dfrac{\pi}{3}<\theta\leqq\pi-\alpha}\qquad\left(\sin\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt2},\ 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\right)$$ である。　 検算　 例えば $\theta=2.5\,(\mathrm{rad})$（$\displaystyle \frac{2\pi}{3}\approx2.094<2.5<\pi-\alpha\approx2.780$）では，$\cos\theta\approx-0.801$ より $\displaystyle \left[\frac52+\cos\theta\right]=[1.699]=1$，$A=\log_21=0$。$\sin\theta\approx0.599$ より $w=1.5+\log_20.599\approx0.759$，$B=[w]=0$。$A\leqq B$（$0\leqq0$）は成立し，境界より内側なので条件を満たすことと整合する。一方 $\theta=2.9$（$\pi-\alpha$ より大）では $\cos\theta\approx-0.971$，$A=0$，$\sin\theta\approx0.239$，$w\approx-0.565$，$B=-1$ となり $A\leqq B$（$0\leqq-1$）は不成立で，境界の外側であることと整合する。以上より(1)(2)(3)の各解は検算により裏付けられる。