2九州大学 2005年 数学 第2問解答・解説

この問題の解答は，解答紙13の定められた場所に記入しなさい。　 【問題】　 行列 $A$ と列ベクトル $\vec{a},\vec{b}$ を $$\displaystyle A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$ とし，列ベクトル $\vec{p}_{n}\ (n=1,2,\ldots)$ を $$\vec{p}_{1}=\vec{a},\qquad \vec{p}_{n+1}=A\vec{p}_{n}+\vec{b}\quad(n=1,2,\ldots)$$ で定める。このとき次の問いに答えよ。

(1) $\vec{p}=A\vec{p}+\vec{b}$ を満たす列ベクトル $\vec{p}$ を求めよ。

(2) $\vec{q}_{n}=\vec{p}_{n}-\vec{p}\ (n=1,2,\ldots)$ とおく。$\vec{q}_{n+1}$ と $\vec{q}_{n}$ の間に成り立つ関係式を求めよ。

(3) $n=1,2,\ldots$ に対して $A^{n}$ を求めよ。

(4) $\vec{p}_{n}\ (n=1,2,\ldots)$ を求めよ。