1九州大学 2005年 数学 第1問解答・解説

(1)

直線 $\ell:y=x+a$ の傾きは $1$ である。曲線 $C:y=2\sin x\ (-\pi\leqq x\leqq \pi)$ 上の点 $(t,2\sin t)$ における接線の傾きは $y'=2\cos x$ より $2\cos t$ であるから，接点では $$\displaystyle 2\cos t=1,\qquad \cos t=\frac12 .$$ $-\pi\leqq t\leqq \pi$ の範囲でこれを満たすのは $$\displaystyle t=\frac{\pi}{3},\ -\frac{\pi}{3}$$ の2つである。接線は接点 $(t,2\sin t)$ を通るから，$a$ は $$2\sin t=t+a,\qquad \text{すなわち}\qquad a=2\sin t-t$$ を満たす。

$\displaystyle t=\dfrac{\pi}{3}$ のとき $$\displaystyle a=2\sin\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\sqrt3-\frac{\pi}{3}\ (>0).$$

$\displaystyle t=-\dfrac{\pi}{3}$ のとき $$\displaystyle a=2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3+\frac{\pi}{3}=-\left(\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right)\ (<0).$$

条件 $a\geqq 0$ を満たすのは前者のみであるから $$\displaystyle \boxed{a=\sqrt3-\frac{\pi}{3}}$$ である（このとき接点は $\displaystyle t=\dfrac{\pi}{3}$，接点座標は $\displaystyle \left(\dfrac{\pi}{3},\sqrt3\right)$）。

(2)

以下 $\displaystyle a=\sqrt3-\dfrac{\pi}{3}$ とし， $$h(x)=2\sin x-(x+a)$$ とおいて，曲線 $C$ と直線 $\ell$ の位置関係を調べる。 $$\displaystyle h'(x)=2\cos x-1,\qquad h'(x)=0\quad\text{すなわち}\quad x=\pm\frac{\pi}{3}.$$ $h'(x)>0$（$\displaystyle -\dfrac{\pi}{3}<x<\dfrac{\pi}{3}$），$h'(x)<0$（$\displaystyle -\pi\leqq x<-\dfrac{\pi}{3}$，$\displaystyle \dfrac{\pi}{3}<x\leqq \pi$）であるから，$h$ は $\displaystyle x=-\dfrac{\pi}{3}$ で極小，$\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}$ で極大をとる。

(1)より $\displaystyle h\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$ であり，これが極大値であるから，$\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}$ の近くでは $h(x)\leqq 0$（曲線は直線以下），すなわち直線は曲線に接している。

また $$\displaystyle h(-\pi)=0-(-\pi+a)=\pi-a>0,\qquad h\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3+\frac{\pi}{3}-a=-2\sqrt3+\frac{2\pi}{3}<0$$ であり，$h$ は $-\pi\le x\le-\pi/3$ で単調減少なので，この区間にただ1つの解 $x=x_1\ (-\pi<x_1<-\pi/3)$ をもつ。$h$ は $-\pi/3\le x\le\pi/3$ で単調増加で両端の値が負・$0$（$x=\pi/3$ で最大値 $0$）なので，この区間では $x=\pi/3$ でのみ $h=0$。さらに $\pi/3<x\le\pi$ では $h$ は単調減少で $h(\pi/3)=0,\ h(\pi)=-\pi-a<0$ だから，この区間に $0$ の解はない。

したがって $C$ と $\ell$ が囲む図形（$h(x)\leqq0$ すなわち曲線が直線以下になる部分）は $$\displaystyle x_1\leqq x\leqq \frac{\pi}{3}$$ の範囲にでき，各 $x$ について下端 $y=2\sin x$，上端 $y=x+a$ である（$x_1$ の具体的な値は以下の体積計算には現れない）。

{ $y\geqq0$ の部分の特定}

直線 $y=x+a$ は $x=-a$ で $y=0$ になり，$x>-a$ で $y>0$，$x<-a$ で $y<0$ である。また$x_1\le x\le\pi/3$ の範囲で曲線側が $y\geqq0$ になるのは $x\geqq0$（$0\leqq x\leqq \pi$ で $\sin x\geqq0$）のときである。$\displaystyle x_1<-a<0<\dfrac{\pi}{3}$ であることに注意すると，

・ $x_1\leqq x<-a$：$2\sin x\le y\le x+a$ で表される帯の上端 $x+a<0$ だから，この範囲の帯は全部 $y<0$。$y\geqq0$ の部分なし。

・ $-a\leqq x\leqq 0$：$2\sin x\leqq0\leqq x+a$ なので，$y\geqq0$ の部分は $0\leqq y\leqq x+a$。

・ $\displaystyle 0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{3}$：$0\leqq 2\sin x\leqq x+a$ なので，帯全体が $y\geqq0$：$2\sin x\leqq y\leqq x+a$。

以上より，回転させる図形は $$\displaystyle -a\leqq x\leqq 0:\ 0\leqq y\leqq x+a,\qquad 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{3}:\ 2\sin x\leqq y\leqq x+a$$ である。この図形全体が $y\geqq0$ にあるので，$x$ 軸のまわりの回転体の体積はどちらの区間でも $$\displaystyle \pi\int\bigl\{(\text{上端})^2-(\text{下端})^2\bigr\}\,dx$$ で計算でき（$-a\leqq x\leqq0$ では下端が $0$ の円板，$0\leqq x\leqq \pi/3$ では中身のくり抜かれた輪環），下端の式を $x<0$ で $0$，$x\geqq0$ で $2\sin x$ とまとめて $$\displaystyle V=\pi\int_{-a}^{\pi/3}(x+a)^2\,dx-\pi\int_{0}^{\pi/3}(2\sin x)^2\,dx$$ と書ける。

第1項：$u=x+a$ とおくと，$x=-a\quad\text{より}\quad u=0$，$x=\pi/3\quad\text{より}\quad u=\pi/3+a=\sqrt3$（(1)の $a$ の値そのものから）。よって $$\displaystyle \int_{-a}^{\pi/3}(x+a)^2dx=\int_0^{\sqrt3}u^2du=\left[\frac{u^3}{3}\right]_0^{\sqrt3}=\frac{(\sqrt3)^3}{3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3 .$$

第2項：半角（次数下げ）の公式 $\displaystyle \sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$ より $$\displaystyle \int_0^{\pi/3}(2\sin x)^2dx=4\int_0^{\pi/3}\sin^2x\,dx=2\int_0^{\pi/3}(1-\cos2x)\,dx =2\left[x-\frac{\sin2x}{2}\right]_0^{\pi/3} =2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sin(2\pi/3)}{2}\right).$$ $\displaystyle \sin(2\pi/3)=\dfrac{\sqrt3}{2}$ であるから $$\displaystyle =2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}\right)=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}.$$

したがって $$\displaystyle V=\pi\sqrt3-\pi\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right) =\sqrt3\,\pi-\frac{2}{3}\pi^2+\frac{\sqrt3}{2}\pi =\frac{3\sqrt3}{2}\pi-\frac23\pi^2 .$$ 通分すれば $$\displaystyle \boxed{V=\frac{3\sqrt3}{2}\pi-\frac23\pi^2=\frac{\pi\left(9\sqrt3-4\pi\right)}{6}}$$ を得る。

{ 検算}

$a=\sqrt3-\pi/3\approx0.6849>0$ で条件 $a\geqq0$ を満たす。数値積分（区分求積法，分割数 $2\times10^5$）により $V\approx1.58236$ が得られ，上の閉じた形の値 $\displaystyle \dfrac{3\sqrt3}{2}\pi-\dfrac23\pi^2\approx1.58236$ と一致することを確認した。また $\pi/3+a=\sqrt3$ となることは (1) の結果 $a=\sqrt3-\pi/3$ を代入すれば従い，計算の整合性を裏付けている。