5東北大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1) 媒介変数表示 $x=e^t\cos t,\quad y=e^t\sin t$ を微分すると $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=e^t(\cos t-\sin t),\qquad \frac{dy}{dt}=e^t(\sin t+\cos t).$$ $y$ 軸に平行な接線では $dx/dt=0$ であり、$\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi}{2}$ から $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$。このとき $dy/dt=e^t(\sin t+\cos t)>0$ なので接線は垂直である。この点では $$\displaystyle x=e^{\pi/4}\cos\frac{\pi}{4}=\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt2}.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\ell:\ x=\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt2}}.$$

(2) 部分積分を2回行い、加法定数を最後にまとめると $$\displaystyle I=\frac{e^{\alpha t}\cos\beta t}{\alpha}+\frac{\beta}{\alpha}J, \qquad J=\frac{e^{\alpha t}\sin\beta t}{\alpha}-\frac{\beta}{\alpha}I.$$ この連立関係を解けば $$\displaystyle \boxed{I=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\cos\beta t+\beta\sin\beta t)+C_1},$$ $$\displaystyle \boxed{J=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+C_2}.$$

(3) $\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi}{4}$ では $dx/dt=e^t(\cos t-\sin t)\ge0$ なので、$t=0$ の点 $(1,0)$ から $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$ の点までの弧が、$x$ 軸と $\displaystyle x=\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt2}$ とともに $D$ を囲む。回転体の断面を円板とすると $$\displaystyle V=\pi\int_1^{e^{\pi/4}/\sqrt2}y^2\,dx =\pi\int_0^{\pi/4}e^{3t}\sin^2t(\cos t-\sin t)\,dt.$$ ここで $$\displaystyle \sin^2t(\cos t-\sin t) =\frac14(\cos t-\cos3t-3\sin t+\sin3t).$$ (2) の公式で $\alpha=3$、$\beta=1,3$ とした原始関数は $$\displaystyle e^{3t}\left(\frac3{20}\cos t-\frac15\sin t-\frac1{12}\cos3t\right).$$ したがって $$\displaystyle \int_0^{\pi/4}e^{3t}\sin^2t(\cos t-\sin t)\,dt =\frac{e^{3\pi/4}}{30\sqrt2}-\frac1{15},$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{V=\frac{\pi}{30}\left(\frac{e^{3\pi/4}}{\sqrt2}-2\right)}.$$