6東北大学 2026年 数学 第6問解答・解説

(1) まず、$A,B,P$ は一直線上にはない。もし一直線上にあれば、相異なる3点 $A,B,P$ が球面 $S$ 上の同一直線上にあることになる。しかし直線を $\mathbf{x}=\mathbf{x}_0+t\mathbf{v}\ (\mathbf{v}\ne\mathbf{0})$ と表すと、球面の方程式 $|\mathbf{x}-\mathbf{m}|^2=R^2$ は $t$ の二次方程式であり、$t^2$ の係数は $|\mathbf{v}|^2>0$ だから、直線と球面の共有点は高々2個である。矛盾するので、$A,B,P$ は平面 $\alpha$ を定める。

$\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OA}$ より $O,A,P$ は一直線上にある。$A\ne P$ なので直線 $AP$ 上に $O$ があり、$O$ は平面 $\alpha$ 上にある。また $B$ は平面 $\alpha$ 上にあるので、$\overrightarrow{OQ}=b\overrightarrow{OB}$ より $Q$ も直線 $OB$ 上にあり、$Q$ は平面 $\alpha$ 上にある。

(2) $S$ の中心を $M$、半径を $R$ とし、位置ベクトルを $\mathbf{u}=\overrightarrow{OA}$、$\mathbf{v}=\overrightarrow{OB}$、$\mathbf{p}=\overrightarrow{OP}=a\mathbf{u}$、$\mathbf{q}=\overrightarrow{OQ}=b\mathbf{v}$、$\mathbf{m}=\overrightarrow{OM}$ とする。$d=|\mathbf{m}|^2-R^2$ とおけば、$X$ が $S$ 上にある条件は $$F(\overrightarrow{OX})=0,\qquad F(\mathbf{x})=|\mathbf{x}|^2-2\mathbf{m}\cdot\mathbf{x}+d$$ である。

$A,P$ は球面 $S$ 上にあるので $$0=F(\mathbf{p})-F(\mathbf{u})=(a^2-1)|\mathbf{u}|^2-2(a-1)\mathbf{m}\cdot\mathbf{u}.$$ $A\ne P$ より $a\ne1$ なので、$2\mathbf{m}\cdot\mathbf{u}=(a+1)|\mathbf{u}|^2$ を得る。これを $F(\mathbf{u})=0$ に代入すると $$d=a|\mathbf{u}|^2.$$ 仮定から $d=b|\mathbf{v}|^2$ でもある。また $B$ が球面 $S$ 上にあることより $2\mathbf{m}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{v}|^2+d$ である。したがって $$F(\mathbf{q})=b^2|\mathbf{v}|^2-2b\mathbf{m}\cdot\mathbf{v}+d =b^2|\mathbf{v}|^2-b(|\mathbf{v}|^2+d)+d =(b-1)(b|\mathbf{v}|^2-d)=0.$$ よって $Q$ は球面 $S$ 上にある。

$Q$ は直線 $CD$ 上にもある。$C,D$ は相異なる球面上の点であり、直線と球面の共有点は高々2個だから、その直線上の球面上の点は $C,D$ に限られる。ゆえに $Q=C$ または $Q=D$ である。