3東北大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &g(x)=8x^3-6x^2+2\quad (|x|\le1),\qquad h(x)=3x^4+ax^3+bx^2+cx+d\quad (|x|>1).\\ &g(1)=4,\quad g(-1)=-12,\quad g'(1)=12,\quad g'(-1)=36.\\ &h(1)=4,\quad h(-1)=-12,\quad h'(1)=12,\quad h'(-1)=36.\\ &\begin{cases} a+b+c+d=1,\\ -a+b-c+d=-15,\\ 3a+2b+c=0,\\ 3a-2b+c=48 \end{cases} \quad\text{ならば}\quad (a,b,c,d)=(8,-12,0,5).\\ &h(x)=3x^4+8x^3-12x^2+5,\qquad h'(x)=12x(x^2+2x-2).\\ &g'(x)=12x(2x-1),\quad g(-1)=-12,\quad g(0)=2,\quad g\left(\frac12\right)=\frac32,\quad g(1)=4,\\ &\min\limits _{-1\le x\le1}g(x)=-12.\\ &h'(x)=0\quad\text{すなわち}\quad x=0,\ -1\pm\sqrt3.\\ &x<-1:\quad h'(x)<0\ \left(x<-1-\sqrt3\right),\qquad h'(x)>0\ \left(-1-\sqrt3<x<-1\right),\\ &x>1:\quad h'(x)>0.\\ &r=-1-\sqrt3,\quad r^2=-2r+2,\quad r^3=6r-4,\quad r^4=-16r+12,\\ &h(r)=3r^4+8r^3-12r^2+5=24r-15=-39-24\sqrt3<-12.\\ &h(-1)=-12,\quad h(1)=4;\qquad \text{したがって}\quad \min\limits _{x\text{ は実数}}f(x)=-39-24\sqrt3\ \text{、そのとき}\ x=-1-\sqrt3. \end{aligned}$$