1札幌医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) 三角形の頂点と点 $P$ の位置ベクトルを $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c,\boldsymbol p$ とする。条件を整理すると $$\displaystyle 15\boldsymbol p=4\boldsymbol a+5\boldsymbol b+6\boldsymbol c, \qquad \boldsymbol p=\frac{4\boldsymbol a+5\boldsymbol b+6\boldsymbol c}{15}.$$ 係数の和は $15$ であり、$P$ は三角形 $ABC$ の内部にある。$S_1$ は辺 $AB$ を共通の底辺とする三角形の面積なので、$P$ から $AB$ への高さは $C$ から $AB$ への高さの $6/15$ 倍である。同様に、辺 $BC$ に対する高さの比は $4/15$、辺 $AC$ に対する高さの比は $5/15$ である。したがって $$S_1:S_2:S_3=6:4:5.$$

(2) $n\ge2$ として項別に微分すると $$\begin{aligned} f_n'(x)&=(n+2)(x-1)^{n+1}+(n+2)(n+1)x^n-(n+2)x^{n+1}\\ &=(n+2)\bigl((x-1)^{n+1}+(n+1)x^n-x^{n+1}\bigr)=(n+2)f_{n-1}(x). \end{aligned}$$ $m=1$ では $$\displaystyle f_1(x)=3x-1,\qquad f_2(x)=6x^2-4x+1=6\left(x-\frac13\right)^2+\frac13.$$ よって $f_1$ は $0\le x\le1$ で増加し、唯一の零点は $x_1=1/3$。また $f_2$ はそこで正の最小値 $1/3$ をとる。したがって $p_1,q_1$ は真である。

$m=2$ では $$\displaystyle f_3(x)=10x^3-10x^2+5x-1,\qquad f_3'(x)=5f_2(x)=30\left(x-\frac13\right)^2+\frac53>0.$$ さらに $f_3(0)=-1<0<f_3(1)=4$ なので、連続性と増加性から、$0<x_2<1$ かつ $f_3(x_2)=0$ を満たす $x_2$ はただ一つである。よって $p_2$ は真である。 $$f_4(x)=15x^4-20x^3+15x^2-6x+1,\qquad f_4'(x)=6f_3(x).$$ $f_3$ は $x_2$ より左で負、右で正だから、$f_4$ は $0\le x\le x_2$ で減少し、$x_2\le x\le1$ で増加する。したがって $x_2$ で最小値をとる。また $$f_4(x)=(1-x)^6+x^5(6-x)>0\qquad(0\le x\le1),$$ である。実際、$x=0$ では第1項が正、$0<x\le1$ では第2項が正である。ゆえに最小値も正で、$q_2$ は真である。