4札幌医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) 接点の $x$ 座標を $a\ (a>0)$ とする。$y=\log x$ の導関数は $1/x$ なので、接点 $(a,\log a)$ における接線は $$\displaystyle y=\log a+\frac{1}{a}(x-a)=\frac{x}{a}+\log a-1$$ である。これが原点を通るから $\log a-1=0$、したがって $a=e$ である。よって $$\displaystyle \ell:\ y=\frac{x}{e}.$$

(2) 部分積分により $$\displaystyle \int\log x\,dx=x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx=x\log x-x+C\qquad(x>0).$$

(3) 曲線 $C$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わり、直線 $\ell$ は原点で $x$ 軸と交わる。また $C$ と $\ell$ は $x=e$ で接する。$0<x<e$ では $$\displaystyle \left(\frac{x}{e}-\log x\right)'=\frac{1}{e}-\frac{1}{x}<0,$$ かつ $x=e$ で $x/e-\log x=0$ だから、$0<x<e$ で $\log x<x/e$ である。さらに $0<x<1$ では $\log x<0$ である。したがって回転体の断面は、$0\le x\le1$ では半径 $x/e$ の円板、$1\le x\le e$ では外半径 $x/e$、内半径 $\log x$ の円環となる。 $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^1\left(\frac{x}{e}\right)^2dx+\pi\int_1^e\left[\left(\frac{x}{e}\right)^2-(\log x)^2\right]dx\\ &=\frac{\pi e}{3}-\pi\int_1^e(\log x)^2dx. \end{aligned}$$ 部分積分と (2) より $$\displaystyle \int(\log x)^2dx=x(\log x)^2-2\int\log x\,dx=x\bigl((\log x)^2-2\log x+2\bigr)+C,$$ したがって $\displaystyle\int_1^e(\log x)^2dx=e-2$ である。ゆえに $$\displaystyle V=\pi\left(\frac{e}{3}-(e-2)\right)=\frac{2\pi}{3}(3-e).$$