3札幌医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1) 1枚目を固定すると、同じマークのカードはそのマークの13枚から1枚を除いた12枚である。したがって $$\displaystyle \boxed{\frac{12}{51}=\frac4{17}}.$$

(2) 各数字について、$r_n$ が正になるカードはスペード・クローバーの2枚、負になるカードはハート・ダイヤの2枚である。全順序付きカード対は $52\cdot51$ 通り。

$z=1+i$ には、1枚目と2枚目が異なる黒色のエースである必要があるので、順序付き対は $2\cdot1=2$ 通り。 $$\displaystyle \boxed{P(z=1+i)=\frac{2}{52\cdot51}=\frac1{1326}}.$$ $z=2+i$ には、1枚目が黒色の2、2枚目が黒色のエースであればよく、順序付き対は $2\cdot2=4$ 通り。 $$\displaystyle \boxed{P(z=2+i)=\frac{4}{52\cdot51}=\frac1{663}}.$$

(3) $|z|\le5$ は、2枚の数字を $u,v$ として $u^2+v^2\le25$ と同値である。この条件を満たす順序付き数字対は、$u=1,2,3$ のとき各4通り、$u=4$ のとき3通りなので計15通り。そのうち同じ数字の対は $(1,1),(2,2),(3,3)$ の3通りである。

異なる数字の対は12通りで、各々カードの選び方は $4\cdot4=16$ 通り。同じ数字の対は3通りで、同じカードを戻さずに2枚引く選び方は各 $4\cdot3=12$ 通り。よって条件に合う順序付きカード対は $$12\cdot16+3\cdot12=228$$ 通りだから $$\displaystyle \boxed{P(|z|\le5)=\frac{228}{52\cdot51}=\frac{19}{221}}.$$

(4) $S=\{-13,-12,\ldots,-1,1,2,\ldots,13\}$ とおく。$S$の各数$s$を与えるカードは2枚あり、同じ符号付き数字でも異なる2枚を選べるので $A$は、$x,y$がともに$S$の数である複素数$x+yi$全体である。 $z=x+yi$ に対して $$(1+i)z=(x-y)+(x+y)i.$$ したがって、$x-y$ と $x+y$ がともに $S$ に入ることが条件である。$a=|x|, b=|y|$ とすると、これは $$a+b\le13,\qquad a\ne b$$ と同値である。実際、$x,y$ が同符号なら $|x+y|=a+b$、異符号なら $|x-y|=a+b$ であり、もう一方の絶対値は $|a-b|$ となる。

正の整数の順序対 $(a,b)$ で $a+b\le13$ のものは $12+11+\cdots+1=78$ 通り。同じ値の対 $a=b$ は $a=1,\ldots,6$ の6通りなので、条件を満たすものは72通り。各々に $x,y$ の符号の組が4通りあり、$a\ne b$ のため対応する数字は異なる。各符号付き数字に対応するカードは2枚ずつあるから、条件に合う順序付きカード対は $$72\cdot4\cdot2\cdot2=1152$$ 通り。よって $$\displaystyle \boxed{P((1+i)z\in A)=\frac{1152}{52\cdot51}=\frac{96}{221}}.$$