1獨協医科大学 2022年 1日目 数学 第1問解答・解説

(1)(i) 条件 $x^2+y^2=1$ を用いると、 $$5-(x+2y)^2=5(x^2+y^2)-(x+2y)^2=(2x-y)^2\ge0.$$ したがって $x+2y\le\sqrt5$。等号には $y=2x$ が必要で、条件と合わせると、最大値を与える点は $$\displaystyle (x,y)=\left(\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5}\right)$$ である。よって $\text{ア}=5,\ \text{イ}=5,\ \text{ウ}=5,\ \text{エ}=2$。

(1)(ii) $u=x+y$ とおく。条件 $x^2+2y^2=4,\ y\ge0$ より $x\ge-2$ なので $u\ge-2$。また $$\displaystyle 6-(x+y)^2=\frac32(x^2+2y^2)-(x+y)^2=\frac12(x-2y)^2\ge0$$ より $u\le\sqrt6$。下端 $-2$ は $(x,y)=(-2,0)$ で、上端 $\sqrt6$ は $x=2y$ と制約から $\displaystyle (x,y)=\left(\frac{2\sqrt6}{3},\frac{\sqrt6}{3}\right)$ のとき達する。さらに $x=2\cos\theta,\ y=\sqrt2\sin\theta\ (0\le\theta\le\pi)$ と表せるため、$u$ は連続的にこの両端の間のすべての値をとる。よって $-2\le u\le\sqrt6$。

求める式は $$(x+y)^2-2a(x+y-1)=u^2-2a(u-1)=(u-a)^2+2a-a^2.$$ したがって、$-2\le a\le\sqrt6$ なら最小値は $2a-a^2$、$a<-2$ なら最小値は端点 $u=-2$ での $4+6a$、$a>\sqrt6$ なら最小値は端点 $u=\sqrt6$ での $6-2a(\sqrt6-1)$ である。$a<-2$ では $4+6a<-8$ なので、最小値が $-4$ にはならない。区間内では $$2a-a^2=-4\quad\text{すなわち}\quad a=1\pm\sqrt5.$$ このうち $-2\le a\le\sqrt6$ を満たすのは $a=1-\sqrt5$ だけである。$a>\sqrt6$ の場合は $$\displaystyle 6-2a(\sqrt6-1)=-4\quad\text{すなわち}\quad a=\frac5{\sqrt6-1}=1+\sqrt6.$$ よって $\text{オ}=1,\ \text{カ}=5,\ \text{キ}=1,\ \text{ク}=6$。

(2) 3回の出方は全部で $6^3=216$ 通り。ちょうど3種類の目が出る並べ方は $$\displaystyle \binom63\,3!=120$$ 通りなので、その確率は $120/216=5/9$。したがって $\text{ケ}=5,\ \text{コ}=9$。

ちょうど2種類で最小値 $m\le2$ となる目の組は、全 $\displaystyle \binom62$ 組から両方とも $3,4,5,6$ である $\displaystyle \binom42$ 組を除いた $9$ 組。各組について両方の目が出る並べ方は $2^3-2=6$ 通りだから、確率は $9\cdot6/216=1/4$。したがって $\text{サ}=1,\ \text{シ}=4$。

条件 $m\le2,\ 4\le M$ を満たす出方は、全体から、すべての目が3以上の $4^3$ 通りとすべての目が3以下の $3^3$ 通りを除き、重複して除かれた $(3,3,3)$ を加えて $$216-4^3-3^3+1=126$$ 通り。さらにちょうど2種類となるには、低い目を $1,2$ から、高い目を $4,5,6$ からそれぞれ1つ選ぶので $2\cdot3=6$ 組あり、各組を両方使う並べ方は $2^3-2=6$ 通り。よって条件付き確率は $$\displaystyle \frac{6\cdot6}{126}=\frac27.$$ したがって $\text{ス}=2,\ \text{セ}=7$。