3獨協医科大学 2022年 1日目 数学 第3問解答・解説

$n$ は自然数とし、$[a]$ は $a$ 以下の最大の整数を表す。

(1) $k=1,2,3$ では $[\sqrt{k}]=1$、$k=4,5,6,7,8$ では $[\sqrt{k}]=2$、$k=9$ では $[\sqrt{k}]=3$ である。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{9}[\sqrt{k}]=3\cdot1+5\cdot2+1\cdot3=16.$$ よって $\boxed{\text{アイ}}=16$。

(2) 自然数 $m$ に対し、$[\sqrt{k}]=m$ となる条件は $$m\le\sqrt{k}<m+1\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad m^2\le k<(m+1)^2.$$ よって該当する自然数 $k$ は $m^2,m^2+1,\ldots,(m+1)^2-1$ であり、その個数は $$(m+1)^2-m^2=2m+1.$$ したがって $\boxed{\text{ウ}}=2,\ \boxed{\text{エ}}=1$。

$1\le k\le n^2$ の範囲では、$m=1,\ldots,n-1$ の各群は全て含まれ、$m=n$ の群には $k=n^2$ だけが含まれる。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n^2}[\sqrt{k}] &=\sum\limits _{m=1}^{n-1}m(2m+1)+n\\ &=2\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}6+\frac{(n-1)n}2+n\\ &=\frac n6(4n^2-3n+5). \end{aligned}$$ よって $\boxed{\text{オ}}=6,\ \boxed{\text{カ}}=4,\ \boxed{\text{キ}}=3,\ \boxed{\text{ク}}=5$。

(3) 直線は $y=2x-8n^2$ である。曲線の $y$ 座標は非負なので、直線と曲線の交点では $2x-8n^2\ge0$、すなわち $x\ge4n^2$ である。一方、曲線の定義域から $x\le4n^2$ であるため、交点は $(4n^2,0)$ のみである。縦の境界 $x=3n^2$ 上では直線の高さが $-2n^2$、曲線の高さが $n$ だから、領域は $$3n^2\le x\le4n^2,\qquad 2x-8n^2\le y\le\sqrt{4n^2-x}$$ で表される。

整数 $x$ に対して $j=4n^2-x$ とおくと、$j$ は $0,1,\ldots,n^2$ を動き、直線の高さは $-2j$、曲線の高さは $\sqrt j$ である。したがって、その $x$ に対する整数 $y$ の個数は $$[\sqrt j]-(-2j)+1=[\sqrt j]+2j+1.$$ よって (2) の和を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} S(n) &=\sum\limits _{j=0}^{n^2}([\sqrt j]+2j+1)\\ &=\frac n6(4n^2-3n+5)+n^2(n^2+1)+(n^2+1)\\ &=\frac16(6n^4+4n^3+9n^2+5n+6). \end{aligned}$$ 従って $$(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})=(6,4,9,5,6).$$

検算として、$n=1$ なら (2) の和は $[\sqrt1]=1$、(3) の整数点数は $x=3$ で $y=-2,-1,0,1$ の4点と $x=4,y=0$ の1点の計5点であり、各公式と一致する。