2獨協医科大学 2022年 1日目 数学 第2問解答・解説

まず左辺を因数分解すると $$x^3-(a-3)x^2-3a^2=(x-a)(x^2+3x+3a)$$ となる。実際に右辺を展開すれば左辺と一致する。

(1) $\displaystyle a=\frac43$では $$\displaystyle (x-a)(x^2+3x+3a)=(x-\frac43)(x^2+3x+4)。$$ 2次式の判別式は$9-16=-7<0$なので，唯一の実数解は$\displaystyle x=\frac43$である。虚数解$\alpha,\beta$は$z^2+3z+4=0$を満たすから $$\alpha^2+4\alpha+4=\alpha,\qquad \beta^2-5\beta+4=-8\beta。$$ また$\alpha\beta=4$より $$(\alpha^2+4\alpha+4)(\beta^2-5\beta+4)=-8\alpha\beta=-32。$$

(2) $(\ast)$は常に$x=a$を根にもち，残りの根は $$x^2+3x+3a=0$$ の根である。この2次方程式の判別式は$\Delta=9-12a$。 $\Delta<0$なら実数解は$a$だけで1個，$\Delta=0$なら重解$\displaystyle -\frac32$と$\displaystyle a=\frac34$は異なるので2個である。$\Delta>0$なら2次方程式の2根は異なり，通常は$a$と合わせて3個となる。ちょうど2個になるのは$a$が2次方程式の根の一つと一致するときであり，代入すると $$a^2+3a+3a=0,\qquad a(a+6)=0。$$ $a=0,-6$はいずれも$\Delta>0$を満たす。したがって求める値は $$\displaystyle a=0,\quad -6,\quad \frac34。$$

(3) 複素数の積を計算すると $$\displaystyle \gamma^2=\frac{3-3\sqrt3i}{2},\qquad \gamma^4=\frac{-9-9\sqrt3i}{2},\qquad \gamma^5=\frac{9(3+\sqrt3i)}{2}。$$ 次に$z=\gamma^n$，$w=z+3$とおく。$w$が$(\ast)$の根となる条件は $$(w-a)(w^2+3w+3a)=0。$$ $n=1,2,3$では$z$が非実数なので$w=a$とはならない。したがって必要なのは$w^2+3w+3a=0$であり，実数$a$を得るには$w^2+3w$が実数でなければならない。ここで $$w^2+3w=z^2+9z+18。$$ $n=1,2,3$について順に計算すると $$z^2+9z+18=6+3\sqrt3i,\quad 27-18\sqrt3i,\quad -9+27\sqrt3i$$ となり，いずれも実数でない。よって$n=1,2,3$は条件を満たさない。 $n=4$では$\displaystyle z=\gamma^4=\frac{-9-9\sqrt3i}{2}$であり， $$z^2+9z+18=-63$$ は実数となる。よって$3a=63$，すなわち$a=21$とすれば$w=\gamma^4+3$は2次因子の根になる。したがって最小の自然数は$n=4$，そのとき$a=21$である。