2大阪公立大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$t=x^2$ とおくと，方程式は $t^2+bt+c^2=0$ となる。その判別式は $\Delta=b^2-4c^2$ であり，$t_1t_2=c^2>0$，$t_1+t_2=-b$ である。

問1について，$\Delta>0$ のとき $t_1,t_2$ は異なる実数で，同符号である。$b>0$ なら両方負となり，$x^2=t_j$ から得られる4解は相異なる純虚数である。この条件は $b>2c$ と同値である。$b<-2c$ なら両方正で4解は実数となる。$\Delta=0$ では重解が生じる。$\Delta<0$ なら $t_1,t_2$ は異なる非実共役数である。どの実数 $x$ に対しても $x^2$ は実数なので，$x^2=t_1,t_2$ から得られる4解はすべて非実数であり，相異なる。したがって求める条件は $$b>2c\quad\text{または}\quad -2c<b<2c$$ である（もともと $c>0$）。

問2を場合分けして表す。$b>2c$ のとき，$\displaystyle x^2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c^2}}2$ から $$\displaystyle \sqrt{\frac{b+\sqrt{b^2-4c^2}}2}=\frac{\sqrt{b+2c}+\sqrt{b-2c}}2,\qquad \sqrt{\frac{b-\sqrt{b^2-4c^2}}2}=\frac{\sqrt{b+2c}-\sqrt{b-2c}}2.$$ よって4解は $$\displaystyle x=\frac{i}{2}\bigl(\pm\sqrt{b+2c}\pm\sqrt{b-2c}\bigr)$$ であり，複号は独立にとる。$-2c<b<2c$ のときは $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2c-b}}2+i\frac{\sqrt{2c+b}}2\right)^2 =-\frac b2+i\frac{\sqrt{4c^2-b^2}}2.$$ その共役も平方して $\displaystyle x^2=\frac{-b\mp i\sqrt{4c^2-b^2}}2$ を与えるので，4解は $$\displaystyle x=\frac12\bigl(\pm\sqrt{2c-b}\pm i\sqrt{2c+b}\bigr)$$ （複号独立）である。どちらの表し方にも二重根号はない。

問3について，$-2c<b<2c$ の場合は4解が $\pm p\pm iq$（$\displaystyle p=\frac12\sqrt{2c-b}>0$，$\displaystyle q=\frac12\sqrt{2c+b}>0$）であり，いずれも原点からの距離の2乗が $$\displaystyle p^2+q^2=\frac{2c-b+2c+b}{4}=c$$ であるから，同一円周上にある。$b>2c$ の場合は4解が異なる純虚数で同一直線上にある。円と直線の共有点は高々2点なので，4点は同一円周上にない。よって条件は $-2c<b<2c$ である。

問4について，$-2c<b<2c$ の4解 $\pm p\pm iq$ は $p,q>0$ より長方形の4頂点であり，同一直線上にはない。$b>2c$ の場合，4解を $\pm iu,\pm iv$（$u>v>0$）とおくと，$\displaystyle u^2=\frac{b+\sqrt{b^2-4c^2}}2$，$\displaystyle v^2=\frac{b-\sqrt{b^2-4c^2}}2$ だから $u^2+v^2=b$，$uv=c$ である。虚軸上の順序は $-iu,-iv,iv,iu$ であり，隣り合う間隔は $u-v,2v,u-v$ となる。これらが等しいための必要十分条件は $u-v=2v$，すなわち $u=3v$ である。このとき $b=u^2+v^2=10v^2$，$c=uv=3v^2$ より $\displaystyle b=\frac{10}{3}c$。逆にこの条件なら $b>2c$ で，解は実際に等間隔に並ぶ。