4大阪公立大学 2024年 数学 第4問解答・解説

$q=ap$ を最初の式に代入すると $$(5-a^2)p^2+(2-5a)p=0,$$ すなわち $p\bigl((5-a^2)p+2-5a\bigr)=0$ となる。$pq\ne0$ より $p\ne0$ だから $$(5-a^2)p=5a-2.$$ 問1では $a\ne\pm\sqrt5$ より $5-a^2\ne0$ なので $$\displaystyle p=\frac{5a-2}{5-a^2},\qquad q=ap=\frac{a(5a-2)}{5-a^2}.$$ 実際に条件を満たす三つ組があるためには，さらに $a\ne0$（$q\ne0$ のため）および $\displaystyle a\ne\frac25$（$p\ne0$ のため）が必要である。

問2では $\displaystyle a=\frac mk$ を既約分数とし，$P=5k^2-m^2$，$N=5m-2k$ とおく。$a$ は有理数なので $a^2\ne5$，したがって $P\ne0$ である。問1の式から $$\displaystyle p=\frac{kN}{P},\qquad q=\frac{mN}{P}.$$

(1) $N$ が $P$ の倍数であるとし，$N=dP$（$d$ は整数） とおけば，$p=kd$，$q=md$ となるので，$p,q$ はともに整数である。

(2) $p$ が整数なら $P\mid kN$ である。また $\gcd(m,k)=1$ より $$\gcd(P,k)=\gcd(5k^2-m^2,k)=\gcd(m^2,k)=1.$$ よって互除法によるベズーの等式から，ある整数 $u,v$ が存在して $uP+vk=1$ となる。これに $N$ をかけると $N=uPN+vkN$ であり，右辺の各項は $P$ の倍数である。したがって $P\mid N$ である。

(3) (2)より $P\mid N$ である。次の恒等式を用いる。 $$25P=121k^2-4kN-N^2.$$ 右辺の第2項と第3項は $P$ の倍数であり，左辺も $P$ の倍数だから，$P\mid121k^2$ を得る。さらに $\gcd(P,k)=1$ より $\gcd(P,k^2)=1$ である。したがって再び互除法によるベズーの等式（またはユークリッドの補題）を用いれば $P\mid121$。すなわち $121$ は $5k^2-m^2$ の倍数である。