1大阪公立大学 2024年 数学 第1問解答・解説

問1について，$\displaystyle f(x)=\sin x-x+\frac{x^2}{2}$ とおくと，$f''(x)=1-\sin x\geq 0$ である。したがって $f'$ は $x\ge0$ の範囲で増加し，$f'(0)=0$ より $f'(x)\geq 0$ となる。ゆえに $f$ も増加し，$f(0)=0$ から $f(x)\geq 0$ である。これは $\displaystyle x-\frac{x^2}{2}\leq\sin x$ を示す。

問2では，上からの評価も得る。$g(x)=x-\sin x$ とおくと，$g'(x)=1-\cos x\geq 0$，$g(0)=0$ なので，$x\geq 0$ に対して $\sin x\leq x$ である。問1と合わせると $\displaystyle x-\frac{x^2}{2}\leq\sin x\leq x$ となる。これを $\displaystyle x=\frac{k}{n^2}\;(1\leq k\leq n)$ に適用し，和をとると $$\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum\limits _{k=1}^{n}k-\frac{1}{2n^4}\sum\limits _{k=1}^{n}k^2\leq a_n\leq\frac{1}{n^2}\sum\limits _{k=1}^{n}k.$$ $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2$，$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ より $$\displaystyle \frac{n+1}{2n}-\frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}\leq a_n\leq\frac{n+1}{2n}.$$ 両端は $n\to\infty$ でともに $\displaystyle \frac12$ に収束するので，はさみうちの原理から $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac12$ である。

問3では $\displaystyle I_n=\int_{1/n}^{2/n}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,dx$ とおく。積分区間では $x>0$ だから，問2で得た評価を $\sqrt{x}$ で割って積分すると $$\displaystyle \int_{1/n}^{2/n}\left(\sqrt{x}-\frac12x^{3/2}\right)dx\leq I_n\leq\int_{1/n}^{2/n}\sqrt{x}\,dx.$$ したがって $$\displaystyle C n^{-3/2}-D n^{-5/2}\leq I_n\leq C n^{-3/2},\qquad C=\frac23(2\sqrt2-1),\quad D=\frac{2^{5/2}-1}{5}.$$ ここで $C>0$ である。両辺に $n^{3/2}$ をかけるとはさみうちの原理から $n^{3/2}I_n\to C$ を得る。よって $$b_n=n^{\alpha-3/2}\bigl(n^{3/2}I_n\bigr).$$ $\displaystyle \alpha<\frac32$ なら $n^{\alpha-3/2}\to0$ なので $b_n\to0$，$\displaystyle \alpha=\frac32$ なら $b_n\to C$ である。一方 $\displaystyle \alpha>\frac32$ なら $n^{\alpha-3/2}\to+\infty$ かつ $n^{3/2}I_n\to C>0$ なので $b_n\to+\infty$ となり，有限の極限をもたない。以上より，収束する範囲は $\displaystyle \alpha\leq\frac32$ である。