1藤田医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 全体集合は $U=\{2,3,\ldots,28\}$ で $n(U)=27$。$$A\cap B=\{4,10,16,22,28\},\qquad \overline A\cap B=\{7,13,19,25\}.$$ $U$ の奇数は13個なので，$\overline A\cap\overline B$ は $13-4=9$ 個であり，$\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$ も9個。さらに $2023=7\cdot17^2$ なので，$U$ のうち $C$ に属さない数は $7,14,17,21,28$。従って $$A\cap B\cap C=\{4,10,16,22\}\quad(4\text{個}),\qquad A\cap B\cap\overline C=\{28\}\quad(1\text{個}).$$ $\overline{A\cup B\cup C}=\overline A\cap\overline B\cap\overline C$ に属するのは $17,21$ の2個である。よって $$(\text{ア},\text{イ},\text{ウ},\text{エ},\text{オ},\text{カ},\text{キ})=(5,4,9,9,4,1,2).$$

(2) $x>0$ として有理化すると $$\displaystyle x^2-x\sqrt{x^2-5} =\frac{x^4-x^2(x^2-5)}{x^2+x\sqrt{x^2-5}} =\frac{5}{1+\sqrt{1-5/x^2}}.$$ $x\to+\infty$ で右辺は $5/2$ に近づく。

(3) $y=2x^{3/2}$ なので $y'=3\sqrt{x}$。弧長は $$\displaystyle \int_0^{5/3}\sqrt{1+(y')^2}\,dx =\int_0^{5/3}\sqrt{1+9x}\,dx =\left[\frac{2}{27}(1+9x)^{3/2}\right]_0^{5/3} =\frac{2}{27}(64-1)=\frac{14}{3}.$$

(4) $(1-i)\neq0$ だから $$\displaystyle (1+i)^n=(1-i)^n \text{であるための必要十分条件は} \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=1.$$ $\displaystyle \frac{1+i}{1-i}=i$ より $i^n=1$，すなわち $n$ は4の倍数である。2023以下の正の4の倍数は $4,8,\ldots,4\cdot505$ の505個。

(5) $x=\pi/48$ では $\tan4x\neq0$ であり， $$\displaystyle \frac{d}{dx}\log|\tan4x| =\frac{4}{\sin4x\cos4x} =\frac{8}{\sin8x}.$$ $8x=\pi/6$ だから微分係数は $8/(1/2)=16$。

(6) $\alpha=1+\sqrt5$ なので $\alpha^2=2\alpha+4$。これを用いると $$\alpha^3=8\alpha+8,\quad \alpha^4=24\alpha+32,\quad \alpha^5=80\alpha+96.$$ よって与式は $$(80\alpha+96)-(24\alpha+32)-12(8\alpha+8)+12(2\alpha+4)+16\alpha=16.$$

(7) $0\leq x\leq\pi/6$ で分母は正であり， $$\displaystyle f\!\left(\frac{\pi}{6}-x\right) =\frac{\cos^3 3x}{\cos^3 3x+\sin^3 3x},\qquad f(x)+f\!\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=1.$$ また置換 $u=\pi/6-x$ より $\displaystyle \int_0^{\pi/6}f(\pi/6-x)dx=\int_0^{\pi/6}f(x)dx$。従って差の積分は0で，和の積分は $\pi/6$ だから $$\displaystyle \int_0^{\pi/6}\left\{f(x)-f\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\right\}dx=0,\qquad \int_0^{\pi/6}f(x)dx=\frac{\pi}{12}.$$

(8) 和が $s=3,4,\ldots,8$ となる出方は，$a+b+c=s$ を $a,b,c\geq1$ の整数解として数えれば $\displaystyle \binom{s-1}{2}$ 通りである。この範囲では各目は6以下なので上限の制約は生じない。従って該当数は $$\displaystyle \sum\limits _{s=3}^{8}\binom{s-1}{2}=1+3+6+10+15+21=56$$ で，確率は $56/6^3=7/27$。 積が12以下となる出方は，固定した $a,b$ に対し $c$ の個数が $\displaystyle \min(6,\lfloor12/(ab)\rfloor)$ である。これを全組について表にすると $$\begin{array}{c|rrrrrr|r} a\backslash b&1&2&3&4&5&6&\text{計}\\\hline 1&6&6&4&3&2&2&23\\ 2&6&3&2&1&1&1&14\\ 3&4&2&1&1&0&0&8\\ 4&3&1&1&0&0&0&5\\ 5&2&1&0&0&0&0&3\\ 6&2&1&0&0&0&0&3\\\hline \text{計}&&&&&&&56 \end{array}$$ よって積の確率も $56/216=7/27$。

(9) 前件は $(x-4)(x-5)<0$，すなわち $4<x<5$。後件の左辺は $$x^2-2(k-1)x+k^2-2k-8=(x-(k-1))^2-9$$ だから，後件が成り立つのは $k-4\leq x\leq k+2$ のときである。これがすべての $4<x<5$ を含む条件は $$k-4\leq4,\qquad k+2\geq5,$$ 従って $3\leq k\leq8$。$k=3$では後件を満たす範囲は$[-1,5]$、$k=8$では$[4,10]$となり、いずれも前件の範囲$(4,5)$を含むので、両端の等号も許される。

(10) $S_0=0,\ S_n=S_{n-1}+a_n$ とおく。与式を2倍し，この関係を代入すると $$\displaystyle 2S_{n-1}+2a_n=a_n+\frac{n^3}{a_n} \quad\text{より}\quad 2S_{n-1}a_n+a_n^2=n^3 \quad\text{より}\quad S_n^2-S_{n-1}^2=n^3.$$ 従って $\displaystyle S_n^2=\sum\limits _{k=1}^n k^3$。各項について $$\displaystyle k^3=\left(\frac{k(k+1)}2\right)^2-\left(\frac{(k-1)k}2\right)^2$$ なので望遠和により $S_n^2=\{n(n+1)/2\}^2$。$S_n>0$ より $S_n=n(n+1)/2$。したがって $S_5=15,\ S_{20}=210$。また差 $a_n=S_n-S_{n-1}=n>0$ は仮定とも一致する。