I順天堂大学 2026年 数学 第I問解答・解説

agraph{(1)(a)} $y=2^{x-2}$ とおくと $y>0$ であり、与式は $$\displaystyle y-\frac1y=\frac{31\sqrt2}{8},\qquad \left(y-4\sqrt2\right)\left(y+\frac{\sqrt2}{8}\right)=0$$ となる。正の解は $y=4\sqrt2=2^{5/2}$ だから、$x-2=5/2$、すなわち $x=9/2$ である。

agraph{(1)(b)} 定義域は $x>0,\ x\ne1$ である。$t=\log_2x$ とおけば $t\ne0$、$x=2^t$、$\log_x4=2/t$ である。したがって $$2^{t^2+3t}=2^{4/t} \quad\text{すなわち}\quad (t-1)(t+2)^2=0.$$ よって $t=1,-2$ であり、$x=2,1/4$ を得る。どちらも定義域に属する。

agraph{(1)(c)} $$2\sin2x-2\sqrt3\sin x-2\sqrt2\cos x+\sqrt6 =(2\sin x-\sqrt2)(2\cos x-\sqrt3)$$ と因数分解できる。$0\le x\le\pi$ の範囲で、第一因子の零点は $\pi/4,3\pi/4$、第二因子の零点は $\pi/6$ である。第一因子は $0\le x<\pi/4$ と $3\pi/4<x\le\pi$ で負、$\pi/4<x<3\pi/4$ で正であり、第二因子は $0\le x<\pi/6$ で正、$\pi/6<x\le\pi$ で負である。零点も含めて積が $0$ 以下となる範囲は $$\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{6},\qquad \frac{\pi}{4}\le x\le\frac{3\pi}{4}$$ である。

agraph{(2)(a)} さいころの目を $n$ とすると、その条件下で表が一枚も出ない確率は $2^{-n}$ である。各目は同様に確からしいから、求める確率は $$\displaystyle \frac16\sum\limits _{n=1}^{6}\frac1{2^n} =\frac16\cdot\frac{63}{64}=\frac{21}{128}.$$

agraph{(2)(b)} さいころの目が $n$ のとき、表がちょうど一枚となる確率は $\displaystyle \binom n1/2^n=n/2^n$ である。したがって $$\displaystyle \frac16\sum\limits _{n=1}^{6}\frac n{2^n} =\frac16\cdot\frac{120}{64}=\frac{5}{16}.$$

agraph{(2)(c)} さいころを二回投げた目の和を $s$ とすると、$s=2,3,\ldots,12$ に対する出方の数は順に $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$ 通りである。和が $s$ のとき、$s$ 枚のコインで表がちょうど一枚となる確率は $s/2^s$ なので、 $$\displaystyle \begin{aligned} P&=\frac1{36}\sum\limits _{s=2}^{12}w_s\frac{s}{2^s}\\ &=\frac1{36}\left(\frac{945}{256}\right) =\frac{105}{1024}, \end{aligned}$$ ただし $(w_2,w_3,\ldots,w_{12})=(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)$ である。

agraph{(3)(a)} $f(x)=x^2$ ならば $x^3/3$ はその原始関数であり、問題の積分等式が成り立つ。逆にその等式がすべての $a,b$ で成り立つとする。任意の実数 $x$ と $h\ne0$ に対し $a=x,b=x+h$ として両辺を $h$ で割ると $$\displaystyle \frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt=x^2+xh+\frac{h^2}{3}.$$ $f$ の連続性より左辺は $h\to0$ で $f(x)$ に近づき、右辺は $x^2$ に近づく。ゆえに全ての $x$ で $f(x)=x^2$ となる。したがって必要十分条件であり、答えは (A) である。

agraph{(3)(b)} $\sqrt a+\sqrt b$ が有理数 $q$ ならば、平方して $$\displaystyle \sqrt{ab}=\frac{q^2-a-b}{2}$$ となるので $\sqrt{ab}$ も有理数である。したがって $\sqrt{ab}$ が無理数なら $\sqrt a+\sqrt b$ も無理数であり、前者の条件は後者の条件の必要条件である。一方、$a=2,b=8$ では $\sqrt a+\sqrt b=3\sqrt2$ は無理数だが $\sqrt{ab}=4$ は有理数であるから、十分条件ではない。答えは (B) である。

agraph{(3)(c)} $P(\alpha)=0$ より因数定理で $P(x)=(x-\alpha)Q(x)$ と書ける。$P(\beta)=0$ および $\beta\ne\alpha$ から $$0=P(\beta)=(\beta-\alpha)Q(\beta)$$ となり、$Q(\beta)=0$ である。再び因数定理を用いれば $Q(x)$ は $x-\beta$ で割り切れるので、$P(x)$ は $(x-\alpha)(x-\beta)$ で割り切れる。逆にこの積で割り切れれば、$P(\alpha)=P(\beta)=0$ である。よって必要十分条件で、答えは (A) である。

agraph{(3)(d)} $\beta\ne0$ なので $z=\alpha/\beta$ とおくと、条件式は $z^2+z+1=0$ となる。平方完成して $$\displaystyle \left(z+\frac12\right)^2=-\frac34, \qquad z=-\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i.$$ いずれも $|z|=1$ だから $|\alpha|=|\beta|$、すなわち $OA=OB$ であり、三角形 $OAB$ は二等辺三角形である。よってこの条件は十分である。一方、$\alpha=1,\ \beta=(1+\sqrt3 i)/2$ とすると三辺の長さが全て $1$ となって二等辺三角形だが、 $$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=1+i\sqrt3\ne0.$$ したがって必要条件ではなく、答えは (C) である。

agraph{(3)(e)} 点 $C$ が線分 $AB$ の内分点なら、ある $u$（$0<u<1$）を用いて $$\overrightarrow{OC}=(1-u)\vec a+u\vec b$$ と表せるので、係数の和は $1$ である。逆に $s+t=1$ は直線 $AB$ 上にあることを示すだけで、係数の範囲を保証しない。例えば $s=2,t=-1$ は和が $1$ だが、内分点ではない。$\vec a,\vec b$ は平行でないため表し方は一意であり、この点は線分の外にある。よって必要条件だが十分条件ではなく、答えは (B) である。