III順天堂大学 2026年 数学 第III問解答・解説

(1) 加法定理より $$\displaystyle \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\sin x\,\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\,\frac{\sin h}{h}.$$ また，$\cos h-1=-2\sin^2(h/2)$ だから $$\displaystyle \frac{\cos h-1}{h} =-\frac h2\left(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2\longrightarrow0 \quad(h\to0).$$ 問題文で与えられた極限と合わせると $$\displaystyle (\sin x)'=\lim\limits _{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\cos x$$ を得る。

(2) $f(x)=x-\sin x$ とおく。(1)より $f'(x)=1-\cos x$ である。三角関数の基本関係 $\sin^2x+\cos^2x=1$ から $\cos x\le1$ なので，$f'(x)\ge0$ である。したがって $f$ は $x\ge0$ の範囲で増加し，$f(0)=0$ から $f(x)\ge0$，すなわち $\sin x\le x$ である。

(3) まず $n=1$ では $$F_1(x)=x-\sin x\ge0$$ は (2) の結果であり， $$G_1(x)=1-\cos x\ge0$$ も $\cos x\le1$ から成り立つ。

$n\ge2$ とする。有限和を項別に微分すると $$\displaystyle S_n'(x)=T_n(x),\qquad T_n'(x)=\sum\limits _{k=2}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^{2k-3}}{(2k-3)!} =-S_{n-1}(x).$$ また，加法定理と (1) で用いた極限から $$\displaystyle (\cos x)'=\lim\limits _{h\to0} \left(\cos x\,\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\,\frac{\sin h}{h}\right) =-\sin x.$$ よって $$F_n'(x)=G_n(x),\qquad G_n'(x)=(-1)^{n-1}\{-S_{n-1}(x)+\sin x\}=F_{n-1}(x).$$ さらに $F_n(0)=0$ であり，問題文の $T_n(0)=1$ と $\cos0=1$ から $G_n(0)=0$ である。いま $F_{n-1}(x)\ge0$ と仮定すると，$G_n'(x)\ge0$ かつ $G_n(0)=0$ より $G_n(x)\ge0$ である。続いて $F_n'(x)=G_n(x)\ge0$ および $F_n(0)=0$ より $F_n(x)\ge0$ となる。$n=1$ で成り立ち，この議論で $n$ から $n+1$ へ進めるので，すべての自然数 $n$ について両不等式が成り立つ。

(4) $x=1$ として (3) の $n=2$ を用いると $$\displaystyle 0\le F_2(1)=\sin1-\left(1-\frac1{3!}\right)$$ より $\displaystyle \frac56\le\sin1$ である。また $n=3$ では $$\displaystyle 0\le F_3(1)=1-\frac1{3!}+\frac1{5!}-\sin1$$ だから $\displaystyle \sin1\le\frac{101}{120}$ である。最後に $$\displaystyle \frac56-\frac{83}{100}=\frac1{300}>0,\qquad \frac{85}{100}-\frac{101}{120}=\frac1{120}>0$$ なので $$\displaystyle 0.83<\frac56\le\sin1\le\frac{101}{120}<0.85.$$ 以上より示された。