2神戸大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) $a>2,\ -1<\cos\theta<1$ より a-2$\cos$$\theta$>0 である。直線 AP 上の点を $$(a,0)+t(2\cos\theta-a,\sin\theta)$$ とおくと、x=0 のとき t=$\displaystyle \dfrac{a}{a-2\cos\theta}$ だから $$\displaystyle Q\left(0,\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\right)$$ である。直線 OP 上の点は $\lambda$(2$\cos$$\theta$,$\sin$$\theta$) と表せる。R の y 座標が Q と等しいので $\lambda$$\sin$$\theta$=$\displaystyle \dfrac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}$。$\sin$$\theta$>0 より $\lambda$=$\displaystyle \dfrac{a}{a-2\cos\theta}$。したがって $$\displaystyle R\left(\frac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta},\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\right).$$

(2) f($\theta$)=$\displaystyle \dfrac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}$ とおくと $$\displaystyle f'(\theta)=\frac{a\{\cos\theta(a-2\cos\theta)-2\sin^2\theta\}}{(a-2\cos\theta)^2} =\frac{a(a\cos\theta-2)}{(a-2\cos\theta)^2}.$$ $\cos$$\theta$ は 0<$\theta$<$\pi$ で単調に減少し、$\displaystyle 0<\dfrac{2}{a}<1$ だから、$\cos$$\theta$=$\displaystyle \dfrac{2}{a}$ となる $\theta_0$ がただ1つある。f' は $\theta$<$\theta_0$ で正、$\theta$>$\theta_0$ で負である。よって最大値は $\theta$=$\theta_0$ でとる。$\cos$$\theta_0$=$\displaystyle \dfrac{2}{a}$, $\sin$$\theta_0$=$\displaystyle \dfrac{\sqrt{a^2-4}}{a}$ を代入して $$\displaystyle f(\theta_0)=\frac{\sqrt{a^2-4}}{(a^2-4)/a}=\frac{a}{\sqrt{a^2-4}}.$$

(3) (1) より $$\displaystyle g(\theta)=\left(\frac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta}\right)^2+\left(\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\right)^2 =\frac{a^2(1+3\cos^2\theta)}{(a-2\cos\theta)^2}.$$ c=$\cos$$\theta$ とおくと -1<c<1 であり、a-2c>0 である。$\displaystyle h(c)=\dfrac{a^2(1+3c^2)}{(a-2c)^2}$ とおけば $$\displaystyle h'(c)=\frac{2a^2(3ac+2)}{(a-2c)^3}.$$ $\displaystyle c_0=-\dfrac{2}{3a}$ は -1<c_0<1 を満たす。h' は c<c_0 で負、c>c_0 で正だから、最小値は c=c_0 でとる。ここで $$\displaystyle 1+3c_0^2=\frac{3a^2+4}{3a^2},\qquad a-2c_0=\frac{3a^2+4}{3a}$$ より $$\displaystyle h(c_0)=a^2\frac{(3a^2+4)/(3a^2)}{((3a^2+4)/(3a))^2}=\frac{3a^2}{3a^2+4}.$$