3神戸大学 2015年 数学 第3問解答・解説

以下の独立解説を採用する。

数学解説

(1) 変曲点の間隔

$$y''=12x^2-12(a+1)x+6a=6\{2x^2-2(a+1)x+a\}.$$ 二次方程式の根の差は判別式の平方根を二次の係数で割った値なので、変曲点の $x$ 座標の差は $\sqrt{(a+1)^2-2a}=\sqrt{a^2+1}$。これが $\sqrt2$ で、$a>0$ より $$\boxed{a=1}.$$ このとき根は $x=1\pm d$（$d=1/\sqrt2$）。

(2) 三角形の面積

$u=x-1$ と置くと $y=u^4-3u^2-2u$。従って $P,Q$ の座標は $$\displaystyle P=(1-d,-\tfrac54+\sqrt2),\qquad Q=(1+d,-\tfrac54-\sqrt2).$$ 中点の $x$ 座標は1なので、$R$ は $u=0$ にあり $R=(1,0)$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=(2d,-2\sqrt2)=(\sqrt2,-2\sqrt2),\quad \overrightarrow{PR}=(d,\tfrac54-\sqrt2).$$ 2本のベクトルの成分から三角形の面積を求めると $$\displaystyle [ PQR ]=\frac12\left|\sqrt2(\tfrac54-\sqrt2)+2\sqrt2 d\right| =\frac12\left|\frac{5\sqrt2}{4}-2+2\right| =\boxed{\frac{5\sqrt2}{8}}.$$

(3) 接線の他の交点

$F(u)=u^4-3u^2-2u$ とする。$P$ の $u$ 座標は $-d$ であり、接線との差は展開して $$F(u)-\{F(-d)+F'(-d)(u+d)\}=(u+d)^3(u-3d).$$ したがって $P$ 以外の交点は $u=3d$、その $x$ 座標は $1+3d$。同様に $Q$ の接線差は $(u-d)^3(u+3d)$ なので、$Q'$ の $x$ 座標は $1-3d$。中点の $x$ 座標は $$\displaystyle \frac{(1+3d)+(1-3d)}2=\boxed{1}.$$

単元・方法・テーマ

単元：数学II「微分法」、数学II「積分法・図形と方程式」。方法：二階導関数の判別式、平行移動による式の整理、三角形の底辺と高さ、接線と多項式の因数分解。テーマ：変曲点の対称配置と接線の再交点。