2琉球大学 2008年 数学 第2問解答・解説

曲線上では平方根が非負であるから、$\sqrt{y}=1-\sqrt{x}\ge0$ となる。したがって $0\le x\le1$ であり、$$y=(1-\sqrt{x})^2=1-2\sqrt{x}+x$$ と表せる。$0<x<1$ で$$\displaystyle y'=1-\frac1{\sqrt{x}}<0,\qquad y''=\frac1{2x^{3/2}}>0$$ だから、曲線は単調減少し、全域で下に凸である。また、端点は $(0,1),(1,0)$ で、$x\to0+$ では傾きが $-\infty$ に近づき、$x=1$ では傾きが $0$ となる。これらを満たす概形を次に示す。

問2では、$b=(1-\sqrt{a})^2$ である。$0<a<1$ における接線の傾きは$$\displaystyle y'(a)=1-\frac1{\sqrt{a}}=-\frac{1-\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$$ なので、接線 $\ell$ は$$\displaystyle y-(1-\sqrt{a})^2=-\frac{1-\sqrt{a}}{\sqrt{a}}(x-a)$$ である。ここで $0<a<1$ より $1-\sqrt{a}>0$ である。$y=0$ とすると$$\displaystyle x=a+\frac{\sqrt{a}(1-\sqrt{a})^2}{1-\sqrt{a}}=a+\sqrt{a}(1-\sqrt{a})=\sqrt{a},$$ また $x=0$ とすると$$y=(1-\sqrt{a})^2+\sqrt{a}(1-\sqrt{a})=1-\sqrt{a}.$$ よって、$x$ 切片は $\sqrt{a}$、$y$ 切片は $1-\sqrt{a}$ である。　 問3では $t=\sqrt{a}$ とおくと $0<t<1$ であり、接線の切片は $t,1-t$ となる。接線は$$\displaystyle y=(1-t)\left(1-\frac{x}{t}\right)\qquad(0\le x\le t)$$ と表される。この直線と座標軸で囲まれる図形を $x$ 軸の周りに回転したとき、断面の半径はこの $y$ であるから、体積は$$\displaystyle \begin{aligned}V(t)&=\pi\int_0^t\left\{(1-t)\left(1-\frac{x}{t}\right)\right\}^2\,dx\\&=\pi(1-t)^2\left[x-\frac{x^2}{t}+\frac{x^3}{3t^2}\right]_0^t=\frac{\pi}{3}t(1-t)^2.\end{aligned}$$ したがって$$\displaystyle V'(t)=\frac{\pi}{3}(1-t)(1-3t).$$ $\displaystyle 0<t<\frac13$ では $V'(t)>0$、$\displaystyle \frac13<t<1$ では $V'(t)<0$ である。また、区間の両端に近づくと体積は $0$ に近づく。よって最大となるのは $\displaystyle t=\frac13$ のときであり、$$\displaystyle V\left(\frac13\right)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac13\left(\frac23\right)^2=\boxed{\frac{4\pi}{81}}.$$