3琉球大学 2008年 数学 第3問解答・解説

$h=1/n$、$x_k=k/n$ とおく。$P_k=(x_k,2-x_k,0)$。

問1 $P_k$と$P_{k+1}$は直線$x+y=2$上にあり、$|P_kP_{k+1}|=\sqrt{h^2+h^2}=\sqrt2h$。原点から直線$x+y=2$までの距離は$\sqrt2$（垂線の足は$(1,1)$）である。よって $$\displaystyle [OP_kP_{k+1}]=\frac12(\sqrt2h)(\sqrt2)=\boxed{\frac1n}.$$

問2 $Q_k=(0,0,z_k)$、$z_k>0$とする。$|P_kQ_k|=2$より $$z_k^2=4-x_k^2-(2-x_k)^2=2x_k(2-x_k),\qquad z_k=\sqrt{2x_k(2-x_k)}.$$ 底面を$OP_kP_{k+1}$とすると高さは$z_k$だから $$\displaystyle \boxed{V_k=\frac1{3n}\sqrt{2\frac{k}{n}\left(2-\frac{k}{n}\right)}}\quad(1\le k\le n-1).$$ $x_0=0$を代入した式も0となり、規定の$V_0=0$と整合する。

問3 $y=\sqrt{2x(2-x)}$は$0\le x\le1$の範囲で連続である。区分求積法で各小区間の左端の値を用いると $$\displaystyle I=\lim\limits _{n\to\infty}\frac13\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac1n\sqrt{2\frac{k}{n}\left(2-\frac{k}{n}\right)} =\boxed{\frac13\int_0^1\sqrt{2x(2-x)}\,dx}.$$

問4 $u=x-1$とすると $$\displaystyle \int_0^1\sqrt{2x(2-x)}\,dx =\sqrt2\int_{-1}^0\sqrt{1-u^2}\,du =\frac{\pi\sqrt2}{4},$$ ここでは半径1の円の四分の一の面積を用いた。したがって $$\displaystyle \boxed{I=\frac{\pi\sqrt2}{12}}.$$

高校範囲・論証： 座標上の線分長と点から直線への高さ、三角錐の体積、区分求積法、単位円の四分の一の面積を使用。単元： 数学II「図形と方程式・定積分」、数学III「積分法と区分求積法」。方法： 頂点の座標から底面積・高さを計算し、連続関数のリーマン和を積分に移す。公式・定理： 三角形の面積、三角錐の体積、リーマン和の極限、四分の一円の面積。テーマ： 空間内の錐体体積和の積分極限。