IV慶應義塾大学 2017年 数学 第IV問解答・解説

体軸に沿う座標を $(x,y,z)$ とし、鉢を傾ける向きを $x$ 方向に取る。鉢の縁 $z=h$ で最も低い点は $(\sqrt h,0,h)$。水面はこの点を通るので、体軸座標では $$z-ax=h-a\sqrt h,\qquad z=h-a\sqrt h+ax.$$

(1) 鉢の内側は $z\ge x^2+y^2$。水面までの高さの差は $$\displaystyle h-a\sqrt h+ax-x^2-y^2 =\left(\sqrt h-\frac a2\right)^2-\left(x-\frac a2\right)^2-y^2.$$ 水が存在できる底面座標は $x^2+y^2\le h$ に限られる。平方完成した式を水深 $D(x,y)$ と見る。 $a>2\sqrt h$ なら中心 $(a/2,0)$ はこの円盤の外にあり、円盤内で中心に最も近い点は縁の $(\sqrt h,0)$ である。よって円盤内では $D(x,y)\le D(\sqrt h,0)=0$ となり、正の水深はない。 $a=2\sqrt h$ のときも水深が0となるのは縁の一点だけである。一方、 $0\le a<2\sqrt h$ では中心が円盤内にあり、そこでの水深 $(\sqrt h-a/2)^2$ は正である。したがって、水が残る条件は $0\le a<2\sqrt h$。水面の鉢底面への射影は中心 $(a/2,0)$、半径 $R=\sqrt h-a/2$ の円である。傾いた水面の面積は射影面積の $\sqrt{1+a^2}$ 倍だから、 $$\displaystyle T(a)=\pi\sqrt{1+a^2}\left(\sqrt h-\frac a2\right)^2.$$ 積を微分すると $$\displaystyle T'(a)=-\frac{\pi(\sqrt h-a/2)}{2\sqrt{1+a^2}}(3a^2-2a\sqrt h+2),\qquad \lim\limits _{a\to+0}T'(a)=-\pi\sqrt h.$$ 二次式の根は $a=(\sqrt h\pm\sqrt{h-6})/3$。異なる2根を持つのは $h>6$ のときで、このとき両根は $(0,2\sqrt h)$ にあり、導関数の符号は負、正、負と変わる。よって区間内に極大値を持つ条件は $h>6$。

(2) $a=\sqrt h$ のとき、各 $x$ における水の深さは $\sqrt h x-x^2-y^2$。ここで $0\le x\le\sqrt h$、$|y|\le\sqrt{\sqrt h x-x^2}$。まず $x$ を固定して断面積を求めると $$\displaystyle A(x)=\int_{-\sqrt{\sqrt h x-x^2}}^{\sqrt{\sqrt h x-x^2}}(\sqrt h x-x^2-y^2)\,dy=\frac43(\sqrt h x-x^2)^{3/2}.$$ したがって、$x=\sqrt h t$ と置換し、問題文で与えられた定積分を用いれば $$\displaystyle V=\frac43\int_0^{\sqrt h}[x(\sqrt h-x)]^{3/2}\,dx =\frac43h^2\int_0^1[t(1-t)]^{3/2}\,dt =\frac43h^2\cdot\frac{3\pi}{128} =\frac{\pi h^2}{32}.$$

体軸座標で水面を平面として表すと、水の深さは二次式になります。平方完成すれば水面の射影が円となり、中心が開口円盤の外へ出た後は円盤内で水深が正にならないことも分かります。これにより非流出条件と水面積が求まります。水面積を微分した式の符号は二次式の判別式で調べられます。体積はxを固定した断面積をy方向に積分してからxについて一変数積分します。置換x=√h tの後は問題に与えられた積分値をそのまま使えます。