浜松医科大学 2017年数学第2問解答・解説

1問題

浜松医科大学2017年度第2問配点 50点

直交する2つの直線 $\ell_{1}$ と $\ell_{2}$ がある。 $\ell_{1}$ と平行で距離 $r$ の直線を $\ell_{1}$ のまわりに1回転してできる円柱を $C_{1}$ ， $\ell_{2}$ と平行で距離 $r$ の直線を $\ell_{2}$ のまわりに1回転してできる円柱を $C_{2}$ とし，2つの円柱 $C_{1}$ と $C_{2}$ の共通部分の立体を $D$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線 $\ell_{1}$ に直交する平面による $D$ の切り口の概形を図示せよ。

(2) 直線 $\ell_{1}$ と $\ell_{2}$ を含む平面と平行な平面による $D$ の切り口の概形を図示せよ。

(3) $D$ の概形を図示せよ。

(4) $D$ の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

（1） $x=0$ では半径 $r$ の円板、 $0<|x|<r$ では円板を上下の水平線で切った帯状部分、 $|x|=r$ では線分。（2） $z=t$ の断面は一辺 $2\sqrt{r^2-t^2}$ の正方形（ $|t|\le r$ ）。（3）断面が中央で最大、上下端 $z=\pm r$ で一点となる共通部分を図示。（4） $\displaystyle V=\frac{16r^3}{3}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\ell_1,\ell_2$ の交点を原点、両直線方向をそれぞれx軸、y軸、垂直方向をz軸とする。円柱の共通部分は $y^2+z^2\le r^2,\qquad x^2+z^2\le r^2.$ （1）平面 $x=u$ では、円板 $y^2+z^2\le r^2$ のうち $|z|\le\sqrt{r^2-u^2}$ を満たす部分が断面となる。 $u=0$ では円板全体、 $0<|u|<r$ では帯状部分、 $|u|=r$ では線分、 $|u|>r$ では空である。

左右に(y,z)平面の断面を同じ縮尺で並べた図。左は半径rの円板で、下に「x=0：円板」とy²+z²≦r²を記す。右は同じ半径rの円（破線）の上下を水平線で切り取った帯状断面で、横幅は円板と同じ2r、上下の水平線の高さはz=±√(r²−u²)（図はu=0.6rの例）。下に「x=u（0<|u|<r）：帯状断面」と、|u|=rのときは線分z=0になる注記がある。

（2）平面 $z=t$ では $|x|,|y|\le\sqrt{r^2-t^2}$ なので、 $|t|\le r$ なら一辺 $2\sqrt{r^2-t^2}$ の正方形、 $|t|=r$ では一点となる。

正方形の断面が実線で描かれている。その下に「z=t：正方形断面」と表示されている。

（3）共通部分は中央の正方形断面が最大で、上下の $z=\pm r$ で一点に縮む。側面は2円柱面の一部であり、断面の変化を表す概形は次の通り。

共通部分Dを斜め上から見た図。x軸（ℓ₁）は左下、y軸（ℓ₂）は右下、z軸は上向きに矢印で描かれ、原点はO。上端の黒点に(0,0,r)、隠れた下端の白抜き点に(0,0,−r)と記される。z=0の断面（一辺2rの正方形、頂点(±r,±r,0)）は手前の2辺が実線、奥の2辺が破線。稜線は平面x=±y上の楕円の弧で、見える部分は実線、隠れた部分は破線。

（4）高さz=tでの断面積は $4(r^2-t^2)$ 。よって $\displaystyle V=\int_{-r}^{r}4(r^2-t^2)\,dt =4\left[r^2t-\frac{t^3}{3}\right]_{-r}^{r} =\frac{16}{3}r^3.$

この問題で使う考え方

座標による共通部分の表現
断面積の積分
断面図の作成

1問題

2答え

3解答

似た問題を、ほかの大学で