浜松医科大学／2017年度／前期
浜松医科大学 2017年 数学 第4問解答・解説
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1問題
以下の問いに答えよ。
(1) いくつかのデータを比べるとき，それぞれのデータの特徴を1つの数値で表すと比較しやすい。そのような数値を代表値という。代表値としてよく用いられるもののうち3つを挙げ，それぞれの定義を述べよ。
(2) 次の2つの表は，糖尿病患者100人（表A）と糖尿病でない健常者100人（表B）を対象に採血検査「HbA1c」の結果を度数分布表の形にまとめたものである（ここではHbA1cの値を小数点以下四捨五入していることに留意せよ）。 表A（糖尿病患者） 表B（糖尿病でない健常者） (1)で回答した3つの代表値を，表Aおよび表Bに対してそれぞれ求めよ。
(3) 表Aと表B，2つのデータを用いて，糖尿病か否かを判断したい。このため判断に用いる値 を定めて，HbA1cの値が 以上なら糖尿病である， 未満なら糖尿病でないとする判定方法を採用する。そして，健常者を糖尿病としてしまう人数と糖尿病患者を健常者としてしまう人数の合計を総数の200で割った比率を誤診率と定義する。このとき，上記200人のデータに対して，誤診率が最小になるような の値を求めよ。
(4) (3)においては，「健常者を糖尿病としてしまう人数と糖尿病患者を健常者としてしまう人数の合計」によって誤診率を定義したが，その他にどのような定義が考えられるか。別の定義を新たに2つ与えて，その意図するところを述べよ。 補足：この問題に用いた上記データは架空のものである。実際の診療では，検査値「HbA1c」だけによるのではなく，症状，病歴，生活習慣，他の検査結果などを総合して診断が行われる。
まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。
2答え
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- (1) 平均値・中央値・最頻値の定義。(2) A: 平均7.4, 中央値7, 最頻値7; B: 平均5.62, 中央値5.5, 最頻値5。(3) 、誤分類。(4) 健常者の偽陽性率と患者の偽陰性率を分けて定義。
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3解答
解答を見る途中式つきの解答
(1) 代表値として、平均値・中央値・最頻値がある。平均値はデータの合計を個数で割った値、中央値は小さい順に並べた中央の値（偶数個なら中央2値の平均）、最頻値は最も多く現れる値である。
(2) 表Aの合計は なので平均値は7.4。累積度数から50番目、51番目はいずれも7で、最頻値も度数最大の7である。表Bの合計は なので平均値は5.62。50番目は5、51番目は6だから中央値は5.5、最頻値は度数最大の5である。
(3) 表のHbA1c値は整数に丸められている。判定を「値が 以上なら糖尿病」とすると、しきい値の区間ごとの誤分類数は次の通り。偽陽性は健常者を糖尿病と判定する人数、偽陰性は糖尿病患者を健常者と判定する人数である。 最小は54人で、 のときに達成する。この区間では偽陽性が 人、偽陰性が 人である。従って最小誤診率は であり、例えば が最適である。
(4) 例えば次の2つの率を別々に定義できる。 1つ目は健常者への誤判定、2つ目は糖尿病患者の見落としの割合を表す。全体の誤診率だけでは分からない2種類の誤りを個別に評価できる。
この問題で使う考え方
- 度数による平均値・中央値・最頻値
- しきい値区間ごとの誤分類数比較
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