1奈良県立医科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(ア)

$y$ の固定された値を小さい順に並べると $2004,2005,2008,2010,2016$ である。

$2009\le b\le 2010$ のとき、$y$ を小さい順に並べると $2004,2005,2008,b,2010,2016$ となるから、

$\displaystyle m=\frac{2008+b}{2}$ である。したがってこの場合 $\displaystyle \frac{4017}{2}\le m\le 2009$ であり、$b$ が $2010$ 以上 $2018$ 以下なら中央値は $\displaystyle \frac{2008+2010}{2}=2009$ である。

また $2009\le b\le 2010$ と動かせば上記区間のすべての値をとるので、中央値の範囲は $\displaystyle \frac{4017}{2}\le m\le 2009$ である。

(イ)〜(エ)

$X_i=x_i-\bar{x},\ Y_i=y_i-\bar{y}$ とおく。

$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{6}X_i^2>0,$

$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{6}Y_i^2>0$ であり、任意の実数 $t$ に対して $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{6}(X_i-tY_i)^2\ge0$ だから、$\displaystyle t=\frac{\sum X_iY_i}{\sum Y_i^2}$ とおくと

$\displaystyle \sum X_i^2-\frac{(\sum X_iY_i)^2}{\sum Y_i^2}\ge0$、すなわち $\displaystyle |r|=\left|\frac{\sum X_iY_i}{\sqrt{\sum X_i^2\sum Y_i^2}}\right|\le1$ である。

$a=40,\ b=2014$ とすると、表のすべての組は $\displaystyle y=\frac{x}{5}+2000$ を満たす。よって $\displaystyle Y_i=\frac{X_i}{5}$ となり、

$\displaystyle r=\frac{\sum X_i^2/5}{\sqrt{(\sum X_i^2)(\sum X_i^2/25)}}=1$ である。したがって最大値は $1$ である。

さらに $r=1$ の等号成立には $Y_i$ が $X_i$ に正比例することが必要である。固定された二組 $(20,2004),(50,2010)$ が定める直線は $\displaystyle y=\frac{x}{5}+2000$ なので、$y=2008$ に対応する $a=40$、および $x=70$ に対応する $b=2014$ に限られる。これらは指定範囲内である。