3奈良県立医科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

三角形の高さなので $h>0$ である。$BC$ の中点を原点とし、$BC$ を $x$ 軸にとると、$\displaystyle B=(-\frac12,0),\ C=(\frac12,0),\ A=(0,h)$ とおける。外心 $O$ は $BC$ の垂直二等分線上にあるから、$O=(0,k)$ とおく。

(1) $OA=OC$ より $$\displaystyle (h-k)^2=\frac14+k^2,\qquad k=\frac{h^2-\frac14}{2h}.$$ したがって、外接円の半径 $r$ は $$\displaystyle r^2=OC^2=\frac14+k^2=\frac{(h^2+\frac14)^2}{4h^2}.$$ $r>0,\ h>0$ より、 $$\displaystyle r=\frac{h^2+\frac14}{2h}.$$ (2) 平行四辺形 $AOCD$ の対角線 $AC$ と $OD$ は互いに中点で交わるので、座標で $\displaystyle D=A+C-O=(\frac12,h-k)$ となる。よって $D$ が外接円上にある条件は $OD=r$、すなわち $$\displaystyle \frac14+(h-2k)^2=\frac14+k^2,\qquad (h-2k)^2=k^2.$$ したがって $h-2k=k$ または $h-2k=-k$、つまり $h=k$ または $h=3k$ である。前者に $\displaystyle k=\frac{h^2-\frac14}{2h}$ を代入すると $\displaystyle h^2=-\frac14$ となり、実数の $h$ は存在しない。後者に代入すると $$\displaystyle h=3\frac{h^2-\frac14}{2h}\quad\text{すなわち}\quad h^2=\frac34.$$ $h>0$ より $\displaystyle h=\frac{\sqrt3}{2}$ である。この値では $\displaystyle k=\frac{\sqrt3}{6}$ となり $h=3k$ を満たすので、条件を満たす。