1東京慈恵会医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) 1回の移動で座標の和 $x+y$ は，白または赤なら1増え（確率 $3/4$），青なら1減る（確率 $1/4$）。初めの和は2で，移動後の和が0または3なら硬貨を得る。

3回目で初めて硬貨を得るには，1回目に青を引いて和を1にし，2回目に白または赤を引いて和を2に戻し，3回目に白または赤を引いて和を3にする必要がある。従って $$\displaystyle \text{ア}=\frac14\cdot\frac34\cdot\frac34=\frac9{64}.$$

4回目に硬貨を得るには，4回の増減後の和が0または3である必要がある。4回後の和は偶数なので3にはならず，和0となるには青を3回，白または赤を1回引く。白または赤を引く位置を4通りに分ける。和の推移と硬貨枚数は $$\begin{array}{c|c|c} \text{白または赤の回}&(x+y)\text{ の推移}&\text{硬貨枚数}\\ \hline 1&2\to3\to2\to1\to0&2\\ 2&2\to1\to2\to1\to0&1\\ 3&2\to1\to0\to1\to0&2\\ 4&2\to1\to0\to-1\to0&2 \end{array}$$ 総数が2枚となるのは4通り中3通りで，各列の確率は $(3/4)(1/4)^3=3/256$。よって $$\displaystyle \text{イ}=3\cdot\frac3{256}=\frac9{256}.$$

(2) $BC$ を $x$ 軸に置き，$B=(0,0), C=(5,0)$，$A=(u,v)$ とする。距離条件から $$u^2+v^2=16,\qquad (u-5)^2+v^2=36.$$ 差を取ると $25-10u=20$，従って $u=1/2$（また $v^2=63/4$）。重心の座標は3頂点の座標の平均なので $$\displaystyle G=\left(\frac{0+5+1/2}{3},\frac{v}{3}\right)=\left(\frac{11}{6},\frac{v}{3}\right).$$ $GH\perp BC$ より $H=(11/6,0)$，従って $BH=11/6$ であり $$\displaystyle \frac{BH}{BC}=\frac{11/6}{5}=\frac{11}{30}.$$ 以上から $\text{ウ}=11/30$。

検算として，(1)の16個の増減列を確率重み付きで数えると，条件を満たすのはそれぞれ確率 $9/64$，$9/256$ となる。また重心のx座標 $11/6$ は $0,5,1/2$ の平均で，垂線の足は辺BCの内側にある。