4奈良県立医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

右へ進んだ回数を $R$、左へ進んだ回数を $L$、上へ進んだ回数を $U$ とすると、$t$ 秒後の座標は $(R-L,U)$ である。 (1) 3秒後は $R+L+U=3$ である。$U$ ごとに $R+L=3-U$ として $x=R-L$ の候補を並べると、 $$\begin{aligned}U=0 &: x=-3,-1,1,3\text{ のいずれか},\\ U=1 &: x=-2,0,2\text{ のいずれか},\\ U=2 &: x=-1,1\text{ のいずれか},\\ U=3 &: x=0.\end{aligned}$$ したがって $x>0$ となる点は $(1,0),(3,0),(2,1),(1,2)$ である。 (2) 3回の移動列は全部で $3^3=27$ 通りあり、各列の確率は等しい。$U=0$ の場合、距離が2以下となるのは $x=\pm1$ のときである。それぞれ $(R,L)=(2,1),(1,2)$ で、各々の並べ方は $\displaystyle \frac{3!}{2!1!}=3$ 通り、計6通りとなる。 $U=1$ の場合、$R+L=2$ であり、距離が2以下となるのは $x=0$ のときだけである。このとき $(R,L,U)=(1,1,1)$ で、並べ方は $3!=6$ 通りである。$U=2$ では $x=\pm1$ となり距離の2乗は5、$U=3$ では距離が3なので、いずれも条件を満たさない。よって求める確率は $$\displaystyle \frac{6+6}{27}=\frac{4}{9}.$$ (3) 36秒後の座標を $(x,y)$ とする。上方向にだけ進むので $y=U>0$ であり、座標軸上にないことから $x\ne0$ でもある。距離条件と三角形の面積条件から $$\displaystyle x^2+y^2=(6\sqrt{13})^2=468,\qquad \frac{|xy|}{2}=108,\quad |xy|=216.$$ したがって $$(x^2-y^2)^2=(x^2+y^2)^2-4x^2y^2=468^2-4\cdot216^2=180^2.$$ よって $x^2-y^2=\pm180$ であり、連立して $(x^2,y^2)=(324,144)$ または $(144,324)$ を得る。$y>0$ を合わせると候補は $(18,12),(-18,12),(12,18),(-12,18)$ である。これらは実際に到達可能である。順に $(R,L,U)=(21,3,12),(3,21,12),(15,3,18),(3,15,18)$ とすれば、それぞれの座標となり、各回数は非負整数で和が36である。 (4) 36秒間の右への移動回数は $R+L=36-U$ と $R-L=x$ を加えて $\displaystyle R=\frac{36-U+x}{2}$ と表せる。上の4候補に代入すると、順に $21,3,15,3$ となる。したがって考えられる値は $3,15,21$ である。