2奈良県立医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) 実係数の2次方程式が非実数解 $z=5+3i$ をもてば、その共役複素数 $\overline{z}=5-3i$ も解である。したがって解を根にもつ2次式は実数倍を除いて $$(x-z)(x-\overline{z})=(x-5-3i)(x-5+3i)=x^2-10x+34$$ である。定数項を $1$ にするにはこの式を $34$ で割ればよいので、 $$\displaystyle \frac{1}{34}x^2-\frac{5}{17}x+1=0.$$ よって $\displaystyle \text{ア}=\frac{1}{34},\ \text{イ}=\frac{5}{17}$ である。実際、この方程式の根は $5\pm3i$ で、定数項も $1$ である。 (2) 原点中心に反時計回りへ $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ 回転することは、対応する複素数に $\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ を掛けることに当たる。したがって $$\displaystyle w=(5+3i)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}+\frac{3+5\sqrt{3}}{2}i.$$ $3\sqrt{3}>5$ は両辺が正で $27>25$ であることから分かるので、実部は負である。一方、虚部は正である。よって $Q$ は第2象限にあり、$\displaystyle \text{ウ}=\frac{5-3\sqrt{3}}{2},\ \text{エ}=\frac{3+5\sqrt{3}}{2},\ \text{オ}=2$ である。 (3) $w=|w|(\cos\theta+i\sin\theta)$ と表せるから、加法定理を用いると $$wu=|w|(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|w|\{\cos(\theta+\varphi)+i\sin(\theta+\varphi)\}.$$ したがって $wu$ の偏角は $\theta+\varphi+2k\pi$（$k$ は整数）であり、$\text{カ}=\theta+\varphi$ である。 次に $w=a+bi$ とおくと、(2)より $\displaystyle a=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}<0,\ b=\frac{3+5\sqrt{3}}{2}>0$ である。また $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$ なので $\cos\varphi>0$ であり、 $$\operatorname{Im}(wu)=a\sin\varphi+b\cos\varphi=\cos\varphi\,(a\tan\varphi+b)\ge 0$$ は $a\tan\varphi+b\ge 0$ と同値である。$a<0$ より、これは $\displaystyle \tan\varphi\le-\frac{b}{a}$ と同値となる。$\tan\varphi$ はこの範囲で増加するため、最大値は境界 $a\tan\varphi+b=0$ で実現する。実際、$-b/a>0$ は有限なので、その逆正接は $\displaystyle (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 内にあり、虚部が $0$ となる許される値である。よって $$\displaystyle -\frac{b}{a}=-\frac{3+5\sqrt{3}}{5-3\sqrt{3}}=\frac{(3+5\sqrt{3})(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3})^2-5^2}=30+17\sqrt{3}.$$ したがって $\text{キ}=30+17\sqrt{3}$ である。境界では虚部がちょうど $0$ となるので、条件の「$0$ 以上」に含まれ、最大値として実際に達する。