3東海大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $(1+i)^2=2i$、$(1+i)^4=-4$ より $$(1+i)^7=(1+i)^4(1+i)^2(1+i)=-4\cdot2i(1+i)=8-8i.$$ したがって $\text{ア}=8-8i$。

(2) 二項定理で展開し、虚部をとると $$\operatorname{Im}(\sqrt{x}+i)^7 =7x^3-35x^2+21x-1.$$ よって $\text{イ}=7x^3-35x^2+21x-1$。

(3) ド・モアブルの定理から $$(\cos\theta+i\sin\theta)^7=\cos7\theta+i\sin7\theta.$$ これが実数である条件は $\sin7\theta=0$、すなわち $7\theta=m\pi$（整数 $m$）である。$0<\theta<\pi/2$ より $m=1,2,3$ なので $$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7},\quad\frac{2\pi}{7},\quad\frac{3\pi}{7}.$$ したがって $\text{ウ}=\pi/7,\ \text{エ}=2\pi/7,\ \text{オ}=3\pi/7$。

(4) $\theta$ を (3) のいずれかとし、$x=\cot^2\theta$ とおく。このとき $$\displaystyle \sqrt{x}+i=\cot\theta+i=\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\sin\theta}.$$ $\sin7\theta=0$ だから、この複素数の7乗の虚部も0である。よって (2) の三次式の根は、順に $1/a^2,1/b^2,1/c^2$ である。最高次係数は7なので $$\displaystyle 7x^3-35x^2+21x-1 =7\left(x-\frac1{a^2}\right) \left(x-\frac1{b^2}\right) \left(x-\frac1{c^2}\right).$$ したがって $\text{カ}=7,\ \text{キ}=1/a^2,\ \text{ク}=1/b^2,\ \text{ケ}=1/c^2$。

(5) 二項定理より、$(\sqrt{x}+i)^{2n+1}$ の虚部は $$\displaystyle (2n+1)x^n-\binom{2n+1}{3}x^{n-1} +\binom{2n+1}{5}x^{n-2}-\cdots+(-1)^n.$$ したがって $\text{コ}=2n+1$、$\displaystyle \text{サ}=-\binom{2n+1}{3}$。この多項式の根は、$\theta_k=k\pi/(2n+1)\ (k=1,\ldots,n)$ に対する $\cot^2\theta_k$ である。実際、$\sqrt{x}+i=(\cos\theta_k+i\sin\theta_k)/\sin\theta_k$ とすれば、$(2n+1)\theta_k=k\pi$ より虚部が0になる。根と係数の関係を使うと $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\cot^2\theta_k =\frac{\binom{2n+1}{3}}{2n+1} =\frac{n(2n-1)}{3}.$$ $\cot^2\theta_k=1/\tan^2\theta_k$ なので $\text{シ}=n(2n-1)/3$。

(6) 問題の不等式を $\theta_k=k\pi/(2n+1)$ に適用して和をとると、(5) より $$\displaystyle \frac{n(2n-1)}{3} <\frac{(2n+1)^2}{\pi^2}\sum\limits _{k=1}^n\frac1{k^2} <\sum\limits _{k=1}^n\frac1{\sin^2\theta_k}.$$ $1/\sin^2\theta_k=1+\cot^2\theta_k$ であるため、右端は $$\displaystyle n+\frac{n(2n-1)}3=\frac{2n(n+1)}3.$$ したがって $$\displaystyle \frac{\pi^2n(2n-1)}{3(2n+1)^2} <\sum\limits _{k=1}^n\frac1{k^2} <\frac{2\pi^2n(n+1)}{3(2n+1)^2}.$$ 両端は $n\to\infty$ でともに $\pi^2/6$ に収束するので、はさみうちの原理から $\text{ス}=\pi^2/6$。