2東海大学 2018年 数学 第2問解答・解説

$n$ を2以上の自然数とする。2辺の長さが3と1の長方形を底面とし、高さが一定の積み木が $3n$ 本ある。これらの積み木は最初、図(a)のように各階ごと3本ずつ、縦横に組み上げてあり、これを初期状態という。

初期状態から、次の条件(I)、(II)、(III)を満たしながら積み木を1本ずつ抜き取り、縦横に底面を下にして積み上げる操作を繰り返し、図(b)のようにどの積み木も抜き取ることができない状態になったものをタワーと呼ぶ。

(I) 積み木は最上階から抜き取ってはいけない。最上階に3本そろわないうちに、そのすぐ下の階から抜き取ってはいけない。　 (II) 最上階に空きがあるときは、最上階に積む。　 (III) 各階において、積み木3本のうち、両端の2本が残るか、または中央の1本が残るように抜き取る。　 タワー $T$ の階数を $k\ (k\geq n)$ とし、各 $l\ (1\leq l\leq k)$ に対し、$T(l)$ は第 $l$ 階に含まれる積み木の本数を表す。たとえば、$n=3$ のとき、図(b)のようなタワー $T$ に対しては $$k=5,\qquad T(1)=2,\quad T(2)=1,\quad T(3)=2,\quad T(4)=3,\quad T(5)=1$$ となる。$T$ の定義により、$l\neq k-1$ に対し、$T(l)=1$ または $T(l)=2$ が成り立つ。また条件より $T(k-1)=3$ であり、$T(k)=2$ または $T(k-2)=2$ が成り立つ。

(1) $$\displaystyle \sum\limits _{l=1}^{k}T(l)=\boxed{\text{ア}}$$ 　 (2) $n=3$ のとき、$k$ のとり得る値の範囲は $\boxed{\text{イ}}\leq k\leq\boxed{\text{ウ}}$ となる。$k$ の最大値を $M$ とする。一般の $n$ に対し、$M$ は $n$ を用いて $M=\boxed{\text{エ}}$ と表される。

(3) 途中の操作に関係なく、各階の積み木の本数がすべて等しいタワーは同じものと考える。$n$ を固定したとき、実現可能なタワーの個数を $J(n)$ とする。　 (i) $n=3$ のとき、$k=5$ を満たすタワーは $\boxed{\text{オ}}$ 個ある。また、 $$J(3)=\boxed{\text{カ}},\qquad J(4)=\boxed{\text{キ}}$$ である。　 (ii) 数列 $\{F(l)\}$ は $$F(1)=1,\qquad F(2)=2,\qquad F(l+2)=F(l+1)+F(l)\quad(l=1,2,\ldots)$$ を満たすとする。このとき $J(n)$ を $n$ を用いて表せば、$J(n)=F(\boxed{\text{ク}})$ が成り立つ。したがって、$J(5)=\boxed{\text{ケ}}$ となる。　 図(a)は初期状態の積み木の組み方を示し、図(b)は $n=3,\ k=5$ のタワーの例を示す。