4福島県立医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

1回の購入で出るおまけの種類を順に並べると、長さ$k$の列は全部で$4^k$通りあり、どの列も同じ確率$4^{-k}$で起こる。

(1) $j$個購入してちょうど$j$種類集まるのは、最初から$j$種類がすべて異なる場合である。その列の数は$\displaystyle 4\cdot3\cdots(4-j+1)=\dfrac{4!}{(4-j)!}$だから、$$\displaystyle p_{j,j}=\frac{4!}{(4-j)!4^j}.$$また、$k$個購入して1種類だけ集まる列は、同じ種類が続く4通りである。よって$$\displaystyle p_{k,1}=\frac{4}{4^k}=\frac{1}{4^{k-1}}.$$

(2) $A_{k,j}$が起こったとき、すでに出た$j$種類のいずれかが次に出れば、集まった種類数は変わらず$j$である。次のおまけは4種類から等確率で選ばれるので、$$\displaystyle P(A_{k+1,j}\mid A_{k,j})=\frac{j}{4}.$$

(3) $k+1$個購入してちょうど$j$種類集まる場合を、最初の$k$個の種類数で分ける。最初の$k$個で$j$種類集まっていた場合、次もそのうちの1種類が出る確率は$j/4$である。一方、最初の$k$個で$j-1$種類集まっていた場合、まだ出ていない種類は$4-(j-1)=5-j$種類なので、そのいずれかが次に出る確率は$(5-j)/4$である。この二つの場合は互いに重ならず、合わせると目的の事象を尽くす。したがって$$\displaystyle p_{k+1,j}=\frac{j}{4}p_{k,j}+\frac{5-j}{4}p_{k,j-1}\qquad(1\le j\le4).$$

(4) 集まる2種類を選ぶ方法は$\displaystyle \binom42=6$通りである。選んだ2種類だけからなる長さ$k$の列は$2^k$通りあり、そのうち一方だけが続く2列を除けば、選んだ2種類をともに含む。したがって該当する列は$6(2^k-2)$通りであり、$$\displaystyle p_{k,2}=\frac{6(2^k-2)}{4^k}.$$この式は$k=1$で0となり、また$k=2$では$3/4$となる。これは1個では2種類集まらず、2個で異なる種類が出る確率が$3/4$であることと一致する。