II慶應義塾大学 2020年 数学 第II問解答・解説

1回の抽選でできる2枚の組は $\displaystyle N=\binom n2=\frac{n(n-1)}2$ 通りである。A君とB君はA君のカードを戻した後に引くので、二人の手の組合せは全て等確率で、全体は $N^2$ 通りとなる。

(1) 一人が番号1を引かない確率は、残り $n-1$ 枚から2枚を選ぶ確率 $$\displaystyle \frac{\binom{n-1}{2}}{\binom n2}=\frac{n-2}{n}$$ である。二人とも番号1を引かない確率はその二乗なので、求める確率は $$\displaystyle 1-\left(\frac{n-2}{n}\right)^2=\frac{4(n-1)}{n^2}.$$ したがって $(あ)=4(n-1),\ (い)=n^2$。

(2) A君の2枚を固定すると、B君が共通カードをちょうど1枚引くには、A君の2枚から共有する1枚を選ぶ方法が2通りあり、残り1枚はA君の手にない $n-2$ 枚から選ぶ。よってB君の手は $2(n-2)$ 通りで、確率は $$\displaystyle \frac{2(n-2)}{\binom n2}=\frac{4(n-2)}{n(n-1)}.$$ したがって $(う)=4(n-2),\ (え)=n(n-1)$。

(3) 一人が番号1または2のカードを少なくとも1枚引く事象の確率を $p$ とする。両方を引かない確率は $n-2$ 枚から2枚を選ぶ確率なので $$\displaystyle 1-p=\frac{\binom{n-2}{2}}{\binom n2}=\frac{(n-2)(n-3)}{n(n-1)},\qquad p=\frac{2(2n-3)}{n(n-1)}.$$ A君とB君の抽選は独立であり、ちょうど一人だけがこの事象を満たす確率は $2p(1-p)$ である。したがって $$\displaystyle 2p(1-p)=\frac{4(n-2)(n-3)(2n-3)}{n^2(n-1)^2}.$$ ゆえに $(お)=4(n-2)(n-3)(2n-3),\ (か)=n^2(n-1)^2$。この式は $n=2,3$ の場合も確率0を与える。

(4) 2枚のうち大きい番号が $k$ である組は、もう一枚を $1,2,\ldots,k-1$ から選べるので $k-1$ 通りである。二人の大きい番号がともに $k$ となる確率を足し合わせると $$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^n\left(\frac{k-1}{\binom n2}\right)^2 =\frac{\sum\limits _{j=1}^{n-1}j^2}{\binom n2^2} =\frac{\frac{n(n-1)(2n-1)}6}{\frac{n^2(n-1)^2}4} =\frac{2(2n-1)}{3n(n-1)}.$$ したがって $(き)=2(2n-1),\ (く)=3n(n-1)$。

(5) A君の小さい番号を $k$ とする。A君のもう一枚は $k+1$ から $n$ までの $n-k$ 通りから選ばれる。一方、条件を満たすにはB君の大きい番号が $k$ 以下なので、B君の2枚は $1,2,\ldots,k$ から選ぶ $\displaystyle \binom{k}{2}$ 通りである。従って条件を満たす手の組合せ数は $$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n-1}(n-k)\binom{k}{2}.$$ ここで $\displaystyle k\binom{k}{2}=3\binom{k}{3}+2\binom{k}{2}$ および $\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n-1}\binom{k}{2}=\binom n3$、$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n-1}\binom{k}{3}=\binom n4$ より $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=2}^{n-1}(n-k)\binom{k}{2} &=n\binom n3-3\binom n4-2\binom n3\\ &=(n-2)\binom n3-3\binom n4\\ &=\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{24}. \end{aligned}$$ 全体の $\displaystyle \binom n2^2$ 通りで割ると、求める確率は $$\displaystyle \frac{\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{24}}{\frac{n^2(n-1)^2}{4}} =\frac{(n-2)(n+1)}{6n(n-1)}.$$ ゆえに $(け)=(n-2)(n+1),\ (こ)=6n(n-1)$。$n=2$ では和は空で、式も確率0を与える。