2東北大学 2018年 数学 第2問解答・解説

各回に取り出す数を $X_1,X_2,\ldots$ とする。各列は独立で、長さ $k$ の列は全部で $n^k$ 通りあり、同様に確からしい。ちょうど $a$ 回目に初めて和が $n$ 以上となる条件は $$X_1+\cdots+X_{a-1}<n\le X_1+\cdots+X_a$$ である。

(1) 1回目で初めて和が $n$ 以上となるには $X_1=n$ であるから $$\displaystyle p(1)=\frac1n.$$ $n$ 回目で初めて和が $n$ 以上となるには、最初の $n-1$ 回の和が $n$ 未満でなければならない。各回の数は1以上なので、この和は $n-1$ であり、最初の $n-1$ 回がすべて1である。次の1回はどの札でもよい。したがって $$\displaystyle p(n)=\left(\frac1n\right)^{n-1}=\frac1{n^{n-1}}.$$

(2) 1回目の数を $i$ とすると、1回目で到達しないため $1\le i\le n-1$ である。2回目で到達するには $X_2\ge n-i$ であり、その値は $n-i,n-i+1,\ldots,n$ の $i+1$ 通りである。よって有利な組は $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n-1}(i+1)=\frac{(n-1)n}{2}+(n-1)=\frac{(n-1)(n+2)}2$$ 通りだから $$\displaystyle p(2)=\frac{(n-1)(n+2)}{2n^2}.$$

(3) 最初の2回の和を $s$ とする。ちょうど3回目に初めて到達する条件は $2\le s\le n-1$ かつ $X_3\ge n-s$ である。和が $s$ となる最初の2回の順序対は $s-1$ 通りあり、条件を満たす3回目の値は $n-s,n-s+1,\ldots,n$ の $s+1$ 通りである。したがって有利な組の数は $$\displaystyle \sum\limits _{s=2}^{n-1}(s-1)(s+1)=\sum\limits _{s=2}^{n-1}(s^2-1) =\frac{n(n-1)(2n-1)}6-(n-1) =\frac{(n-1)(n-2)(2n+3)}6.$$ 全ての3回の列は $n^3$ 通りなので $$\displaystyle p(3)=\frac{(n-1)(n-2)(2n+3)}{6n^3}.$$