3東北大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $2^b>0$ なので、$3^a=2^b+1>1$。よって整数 $a$ は正である。すると $3^a\ge3$ であるから $$2^b=3^a-1\ge2,$$ したがって整数 $b$ も正である。

(2) $b>1$ なら $b\ge2$ なので、与式を法 $4$ で見ると $$3^a\equiv 2^b+1\equiv1\pmod4.$$ $3^a\equiv(-1)^a\pmod4$ より $a$ は偶数である。

(3) $b=1$ のときは $3^a=3$ なので $(a,b)=(1,1)$。一方 $b>1$ なら (2) より $a=2m$（$m$ は正の整数）とおける。そこで $$(3^m-1)(3^m+1)=2^b.$$ 左辺の二因子は正の偶数で、積が2の累乗だから各因子も2の累乗である。また $$\gcd(3^m-1,3^m+1)=\gcd(3^m-1,2)=2.$$ 二つの因子は2の累乗で最大公約数が2、かつ小さい方が $3^m-1$ なので $3^m-1=2$。従って $3^m=3$、$m=1$、$a=2$。元の式から $2^b=3^2-1=8$ となり $b=3$。以上より解は $$(a,b)=(1,1),\ (2,3).$$