4東北大学 2018年 数学 第4問解答・解説

三角形の面積を $K$、半周長を $s$、各辺を $x=BC,y=CA,z=AB$ とする。正弦定理から $$x=2R\sin2\alpha,\quad y=2R\sin2\beta,\quad z=2R\sin2\gamma.$$ よって $s=R(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma)$、また $\displaystyle K=\frac12 yz\sin2\alpha=2R^2\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma$。$K=rs$ だから $$\displaystyle h=\frac rR=\frac{2\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma}{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}.$$ $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=\frac\pi2$ より $$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma, \quad \sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma=8\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$ これを代入して $h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ を得る。

(2) 対称性により $C=90^\circ$ としてよい。このとき $\displaystyle \gamma=\frac\pi4$、$\displaystyle \alpha+\beta=\frac\pi4$ である。積和公式から $$\displaystyle \sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}2\le\frac{1-\cos(\alpha+\beta)}2=\sin^2\frac{\alpha+\beta}{2}=\sin^2\frac\pi8.$$ したがって $$\displaystyle h=2\sqrt2\sin\alpha\sin\beta\le2\sqrt2\sin^2\frac\pi8=\sqrt2-1.$$ 等号は $\displaystyle \alpha=\beta=\frac\pi8$、すなわち $A=B=45^\circ,C=90^\circ$ の直角二等辺三角形のときに限る。

(3) $\displaystyle t=\frac{\alpha+\beta}{2}$ とおくと $\displaystyle 0<t<\frac\pi4$、$\displaystyle \gamma=\frac\pi2-2t$。同じ積和公式を用いると $$h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\le4\sin^2t\cos2t.$$ $y=\sin^2t$ とおけば $\cos2t=1-2y$ なので $$\displaystyle 4\sin^2t\cos2t=4y(1-2y)=\frac12-8\left(y-\frac14\right)^2\le\frac12.$$ 等号には $\displaystyle y=\frac14$ と積和不等式の等号 $\alpha=\beta$ がともに必要である。$\displaystyle 0<t<\frac\pi4$ より $\displaystyle t=\frac\pi6$、したがって $\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=\frac\pi6$。これは正三角形の場合であり、このとき等号が成立する。