3大阪大学 2020年 数学 第3問解答・解説

$x=\angle ABC$ とおく。三角形の内角の和と $\angle ACB=nx$ より、$\angle BAC=\pi-(n+1)x>0$ である。したがって $0<x<\pi/(n+1)$ であり、$1\le k\le n$ に対して $0<kx<\pi$ となる。

まず $\sin(kx)\le k\sin x$ を $k=1,2,\ldots,n$ について数学的帰納法で示す。$k=1$ では等号が成り立つ。$1\le k<n$ とし、$\sin(kx)\le k\sin x$ と仮定する。このとき $\sin(kx)>0$、$\sin x>0$、$\cos x<1$、$\cos(kx)\le1$ だから、加法定理により

$$\begin{aligned}\sin((k+1)x)&=\sin(kx)\cos x+\cos(kx)\sin x\\&<\sin(kx)+\sin x\\&\le k\sin x+\sin x=(k+1)\sin x.\end{aligned}$$

よって帰納法により、特に $n\ge2$ なので $\sin(nx)<n\sin x$ である。正弦定理を用いると、

$$\displaystyle \frac{c}{b}=\frac{\sin\angle ACB}{\sin\angle ABC}=\frac{\sin(nx)}{\sin x}<n.$$

ここで $b>0$ であるから、$c<nb$。