1大阪大学 2020年 数学 第1問解答・解説

$t=x+1$ $(t\geq1)$ とおくと、$\displaystyle f(x)=\exp\left(\frac{\log t}{t}\right)$ である。指数の微分は $\displaystyle \frac{1-\log t}{t^2}$ だから、$\displaystyle f'(x)=f(x)\frac{1-\log t}{t^2}$。$f(x)>0$ より、$f'\text{ は}$ $1\leq t<e$ で正、$t=e\text{ で }0$、$t>e$ で負となる。従って最大値は $t=e$、すなわち $x=e-1$ のときの $f(e-1)=e^{1/e}$。また $t\to\infty$ で $\displaystyle \frac{\log t}{t}\to0$ なので $f(x)\to1$。さらに $\displaystyle f'(x)=f(x)\frac{1-\log t}{t^2}$ で、$f(x)\to1$ かつ $\displaystyle \frac{1-\log t}{t^2}\to0$ より $f'(x)\to0$。グラフは $(0,1)$ から増加し、$(e-1,e^{1/e})$ を頂点として減少する。$\text{有限の }t\geq1$ では $\displaystyle \frac{\log t}{t}\geq0$ なので、右側から水平漸近線 $y=1$ に近づく。