3神戸大学 2004年 数学 第3問解答・解説

$a>0,\quad x>0$ なので、両辺の自然対数をとり、さらに $x$ で割ると $$\displaystyle a^x\ge x\quad\text{すなわち}\quad x\ln a\ge\ln x\quad\text{すなわち}\quad \ln a\ge\frac{\ln x}{x}.$$ $\displaystyle g(x)=\frac{\ln x}{x}$ とおくと $$\displaystyle g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$ $x^2>0$ であり、$x<e$ では $\ln x<1$、$x>e$ では $\ln x>1$ だから、$g$ は $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。従って最大値は $\displaystyle g(e)=\frac1e$ である。

よって、すべての $x>0$ について条件が成り立つための必要十分条件は $\displaystyle \ln a\geq\frac1e$。これは $$\boxed{a\ge e^{1/e}}$$ と同値である。境界 $a=e^{1/e}$ では $x=e$ で等号となる。