4金沢大学 2004年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{e^x}{1+e^x}. \quad f'(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}>0,\quad f''(x)=\frac{e^x(1-e^x)}{(1+e^x)^3}. \text{ よって }x<0\text{ で下に凸、}x>0\text{ で上に凸、}(0,\tfrac12)\text{ が変曲点。} \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=0,\quad \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=1,\quad f(-x)=1-f(x). \text{ したがって }y=0,1\text{ を水平漸近線とし、}(0,\tfrac12)\text{ を中心に点対称な増加S字曲線を描く。} \\ \text{(2) }\frac{1}{e^{a-x}+1}=f(x-a),\quad \int f(x)\,dx=\log(1+e^x),\quad \int f(x-a)\,dx=\log(1+e^{x-a}). \text{ よって} g_a(r)=\left[\log(1+e^x)-\log(1+e^{x-a})\right]_{-1}^{r}. \text{ 上端では} \lim\limits _{r\to\infty}\left(\log(1+e^r)-\log(1+e^{r-a})\right)=a. \text{ したがって} h(a)=\lim\limits _{r\to\infty}g_a(r) =a-\log(1+e^{-1})+\log(1+e^{-a-1}) =a+\log\frac{1+e^{-a-1}}{1+e^{-1}}. \\ \text{(3) } \frac{h(a)}a=1+\frac{\log(1+e^{-a-1})-\log(1+e^{-1})}{a}. \text{ 分子の第2項は定数、第1項は }a\to\infty\text{ で }0\text{ に収束するので、その商は }0\text{ に収束する。} \quad\therefore\quad \lim\limits _{a\to\infty}\frac{h(a)}a=1.$$