7愛媛大学 2014年 数学 第7問解答・解説

共通選択指示は、教育学部・農学部・工学部環境建設工学科社会デザインコースが大問1・2・3・4、理学部および同コースを除く工学部が大問4・5・6・7・8、医学部が大問4・6・7・8・9を解答するというものである。したがって、本問（大問7）は理学部等と医学部の選択対象である。

$y=e^x$ の導関数は $e^x$ だから、 $$f(x)=1+x,\qquad g(x)=e^a+e^a(x-a)=e^a(x-a+1).$$

(1) 2直線の交点では $$x+1=e^a(x-a+1),$$ よって $$(e^a-1)x=e^a(a-1)+1.$$ $a>0$ なので $e^a-1>0$ であり、 $$\displaystyle p(a)=\frac{e^a(a-1)+1}{e^a-1} =a-1+\frac{a}{e^a-1}.$$

(2) $x\geq0$ では $e^x-1-x$ は $x=0$ で0となり、その導関数 $e^x-1$ は非負なので $e^x\geq1+x$ である。また $x\leq a$ では $$\displaystyle \frac{d}{dx}\{e^x-e^a(x-a+1)\}=e^x-e^a\leq0$$ で、この差は $x=a$ で0となるから $e^x\geq g(x)$ である。したがって面積はそれぞれ上側から下側を引いて積分すればよい。 $$\displaystyle \begin{aligned} S_1 &=\int_0^b\{e^x-(x+1)\}\,dx\\ &=e^b-1-b-\frac{b^2}{2}. \end{aligned}$$ $t=a-b$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} S_2 &=\int_b^a\{e^x-e^a(x-a+1)\}\,dx\\ &=e^a-e^b-e^a\left(t-\frac{t^2}{2}\right)\\ &=e^a\left(1-e^{-t}-t+\frac{t^2}{2}\right). \end{aligned}$$

(3) $t=a-b$ より $e^{a-b}=e^t$ だから、 $$\displaystyle R=e^{-b}S_2 =e^t\left(1-e^{-t}-t+\frac{t^2}{2}\right) =e^t\left(1-t+\frac{t^2}{2}\right)-1.$$

(4) (1)から $$\displaystyle a-p(a)=1-\frac{a}{e^a-1} =1-\frac{ae^{-a}}{1-e^{-a}}.$$ 与えられた極限より $ae^{-a}\to0$、また $e^{-a}\to0$ なので $$\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}(a-p(a))=1.$$

(5) まず $p(a)>0$ である。実際、分子 $\displaystyle e^a(a-1)+1=\int_0^a u e^u\,du>0$ である。また $$\displaystyle a-p(a)=1-\frac{a}{e^a-1}>0$$ である。ここで $\displaystyle e^a-1=\int_0^a e^x\,dx>a$ を用いた。よって $b=p(a)$ は $0<b<a$ を満たす。$t=a-b=a-p(a)$ とおけば (4)より $t\to1$、したがって $b=a-t\to\infty$ である。 $$\displaystyle \frac{S_1}{e^b} =1-\left(1+b+\frac{b^2}{2}\right)e^{-b}\longrightarrow1$$ （与えられた極限を $k=1,2$ に適用）。一方、 $$\displaystyle \frac{S_2}{e^b} =e^t\left(1-e^{-t}-t+\frac{t^2}{2}\right) \longrightarrow e\left(\frac12-e^{-1}\right) =\frac e2-1.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{a\to\infty}\frac{S_2}{S_1}=\frac e2-1}.$$