1名古屋大学 2015年 数学 第1問解答・解説

$f(x)=2^x/x^2$ とおく。$x\ne0$ で $$\displaystyle f'(x)=\frac{2^x(x\ln2-2)}{x^3}.$$

(1) $2^x>0$ である。$x<0$ のとき $x\ln2-2<0$ かつ $x^3<0$ なので $f'(x)>0$。$x>0$ のときは分母が正だから、$f'(x)>0$ となるのは $x\ln2-2>0$、すなわち $x>2/\ln2$ のときである。よって $$\displaystyle \boxed{x<0\quad\text{または}\quad x>\frac{2}{\ln2}}.$$

(2) $2^x=x^2$ は、$x\ne0$ で $f(x)=1$ と同値である。(1)より $f$ は $x<0$ で単調増加し、$\displaystyle \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=0$、$\displaystyle \lim\limits _{x\to0-}f(x)=+\infty$ だから、負の解をちょうど1個もつ。

$a=2/\ln2$ とおく。$\displaystyle \ln2=\int_1^2\!du/u$ より $1/2<\ln2<1$、したがって $2<a<4$ である。正の範囲では $f$ は $0<x<a$ で単調減少、$x>a$ で単調増加する。また $$\displaystyle f(2)=\frac{2^2}{2^2}=1,\qquad f(4)=\frac{2^4}{4^2}=1.$$ ここで $2<a<4$ だから、単調性により正の解は $2$ と $4$ のちょうど2個である。以上から、方程式は負の解1個と正の解2個、計3個の相異なる実数解をもつ。

(3) 有理数解 $x=p/q$（$p,q$ は互いに素な整数、$q>0$）をとると、$p\ne0$ であり、方程式から $$\displaystyle 2^{p/q}=\frac{p^2}{q^2}\text{ は有理数}.$$ 右辺を $r$ とすれば $r^q=2^p$。有理数の素因数2の指数 $v_2(r)$ は整数なので、$p=qv_2(r)$ より $q\mid p$。互いに素であることから $q=1$、したがって有理数解は整数に限られる。

整数 $n$ が解なら、$n\le-1$ では $2^n<1\le n^2$、$n=0$ でも等式は成り立たないので、$n$ は正である。さらに $n=1$ は解でない。$n^2=2^n$ から $n$ は2の冪、すなわち $n=2^m$（$m\ge1$）であり、指数を比べると $2m=n=2^m$、よって $2^{m-1}=m$。$m=1,2$ は成り立ち、$m\ge3$ では $2^{m-1}>m$（$m=3$ で成立し、帰納的に保たれる）なので、それ以外に解はない。したがって求める有理数解は $$\boxed{x=2,\ 4}.$$