3九州大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1)

$x,y$ を固定し,関数 $\varphi(t)=e^{t}-xt\ (t\text{ は実数})$ を考える。条件 $(*)$ は「すべての $t$ について $y\leqq\varphi(t)$」であるから,実数 $t$ を動かしたときの $\varphi(t)$ の値がすべて $y$ 以上となる条件を調べる。

$\varphi'(t)=e^{t}-x,\qquad \varphi''(t)=e^{t}>0$

より $\varphi$ は すべての実数 $t$ で下に凸である。

$x\leqq0$ のとき　 $e^{t}>0\geqq x$ より $\varphi'(t)=e^{t}-x>0$ がすべての $t$ で成り立ち,$\varphi$ は単調増加である。

$x<0$ ならば,$t\to-\infty$ のとき $e^{t}\to0$,$-xt=(-x)t\to-\infty$($-x>0$ のため)であるから $\varphi(t)\to-\infty$。よって,どんな実数 $y$ をとっても十分小さい $t$ で $y>\varphi(t)$ となる。したがって $x<0$ の点は条件をみたさない(集合に含まれない)。

$x=0$ のとき $\varphi(t)=e^{t}>0$ がすべての $t$ で成り立つ。$y\leqq0$ ならば $y<e^{t}$ が任意の $t$ で成立し $(*)$ をみたす。$y>0$ のときは $t\to-\infty$ で $e^{t}\to0<y$ となる $t$ が存在し $(*)$ を破る。よって $x=0$ のときの条件は $y\leqq0$。

$x>0$ のとき　 $\varphi'(t)=0\quad\text{すなわち}\quad e^{t}=x\quad\text{すなわち}\quad t=\log x$。$\varphi$ は下に凸だから,この $t=\log x$ で最小値をとり $$\varphi(\log x)=e^{\log x}-x\log x=x-x\log x=x(1-\log x)$$ よって条件 $(*)$ は $y\leqq x(1-\log x)$ と同値である。

まとめ　 $g(x)=x(1-\log x)\ (x>0)$ とおくと,与えられた $\displaystyle\lim\limits _{x\to+0}x\log x=0$ により $\displaystyle\lim\limits _{x\to+0}g(x)=\lim\limits _{x\to+0}(x-x\log x)=0$ であるから,$g(0)=0$ と定めれば $g$ は $x\geqq0$ で連続に拡張され,$x=0$ の場合の結果 $y\leqq0$ とも一致する。以上より,条件 $(*)$ をみたす点全体の集合を $D$ とすると、$D$ は $$x\geqq0,\quad y\leqq g(x)$$ を満たす点全体である。ただし $x<0$ の点は含まない。

境界曲線 $y=g(x)=x(1-\log x)\ (x\geqq0)$ の概形を調べる。 $$\displaystyle g'(x)=1-\log x-1=-\log x,\qquad g''(x)=-\frac1x<0\ (x>0)$$ $g'(x)>0\ (0<x<1)$,$g'(1)=0$,$g'(x)<0\ (x>1)$ より,$g$ は $0\le x\le1$ で増加,$x\ge1$ で減少し,$x=1$ で最大値 $g(1)=1$ をとる。また $g''(x)<0$ より $x>0$ で常に上に凸(グラフは凹)である。$g(0)=0$,$g(e)=e(1-1)=0$,$x\to\infty$ のとき $g(x)\to-\infty$。$x\to+0$ で $g'(x)=-\log x\to+\infty$ となるので,原点で $y$ 軸に接するように立ち上がる。

したがって $D$ は,原点から出て上に凸に増加し $(1,1)$ で最大となり,その後上に凸のまま減少して $(e,0)$ で $x$ 軸を切り,以後 $x\to\infty$ で $-\infty$ に向かう曲線 $y=x(1-\log x)\ (x\geqq0)$ の下側(曲線を含む)全体である(解答用紙にはこの曲線と,その下側の領域を図示する)。

(2)

(1) の結果より $$S\text{ は }x\geqq1,\quad 0\leqq y\leqq x(1-\log x)\text{ を満たす点全体である。}$$ $g$ は $x\geqq1$ で単調減少し $g(1)=1,\ g(e)=0$ であるから,$x>e$ では $g(x)<0$ となり $y\geqq0$ をみたす $y\leqq g(x)$ は存在しない。よって $$S\text{ は }1\leqq x\leqq e,\quad 0\leqq y\leqq x(1-\log x)\text{ を満たす点全体}$$ であり,$1\le x\le e$ を満たす各 $x$ における $S$ の切り口は $0$ から $g(x)$ までの線分( $x$ 軸に接する)である。ゆえに $S$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体は,各 $x$ で半径 $g(x)$ の円板を断面にもつ(中空のない)回転体であり,体積 $V$ は $$\displaystyle V=\pi\int_{1}^{e}\{g(x)\}^{2}\,dx=\pi\int_{1}^{e}x^{2}(1-\log x)^{2}\,dx$$

被積分関数を展開すると $x^{2}(1-\log x)^{2}=x^{2}-2x^{2}\log x+x^{2}(\log x)^{2}$。部分積分により $$\displaystyle \int x^{2}\log x\,dx=\frac{x^{3}}{3}\log x-\int\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac1x\,dx=\frac{x^{3}}{3}\log x-\frac{x^{3}}{9}+C$$ さらにこれを用いて部分積分すると $$\displaystyle \int x^{2}(\log x)^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}(\log x)^{2}-\frac{2}{3}\int x^{2}\log x\,dx=\frac{x^{3}}{3}(\log x)^{2}-\frac{2x^{3}}{9}\log x+\frac{2x^{3}}{27}+C$$ これらをまとめると $$\displaystyle \int x^{2}(1-\log x)^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}-2\left(\frac{x^{3}}{3}\log x-\frac{x^{3}}{9}\right)+\left(\frac{x^{3}}{3}(\log x)^{2}-\frac{2x^{3}}{9}\log x+\frac{2x^{3}}{27}\right)=\frac{17x^{3}}{27}-\frac{8x^{3}}{9}\log x+\frac{x^{3}}{3}(\log x)^{2}=:F(x)$$ (実際 $F'(x)=x^{2}-2x^{2}\log x+x^{2}(\log x)^{2}=x^{2}(1-\log x)^{2}$ であることは直接微分して確かめられる。)

$x=e$($\log e=1$)のとき $$\displaystyle F(e)=\frac{17e^{3}}{27}-\frac{8e^{3}}{9}+\frac{e^{3}}{3}=\frac{17e^{3}-24e^{3}+9e^{3}}{27}=\frac{2e^{3}}{27}$$ $x=1$($\log1=0$)のとき $\displaystyle F(1)=\dfrac{17}{27}$。

よって $$\displaystyle V=\pi\{F(e)-F(1)\}=\pi\left(\frac{2e^{3}}{27}-\frac{17}{27}\right)=\frac{(2e^{3}-17)\pi}{27}$$

(検算:$e^{3}=20.0855\ldots$ より $\displaystyle V\fallingdotseq\dfrac{(40.171-17)\pi}{27}\fallingdotseq0.858\pi\fallingdotseq2.696$。これは $\{g(x)\}^{2}$ を$1\le x\le e$ の範囲で(シンプソン則により)数値積分した近似値 $0.858$ と一致し,$2e^{3}-17>0$ で体積が正であることとも整合する。) $$\displaystyle \boxed{V=\dfrac{(2e^{3}-17)\pi}{27}}$$