1九州大学 2021年 数学 第1問解答・解説

解答

平面 $ABC$ は $A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)$ を通るので、切片の式から $$\displaystyle x+y+\frac z2=1,\qquad 2x+2y+z-2=0$$ と表せる。四面体 $OABC$ の内部は $x>0,y>0,z>0$ かつ $2x+2y+z-2<0$ の側である。

(1) 3つの座標平面すべてに接し、中心の座標が正である球を考える。半径を $r$ とすると、各座標平面までの距離が $r$ だから中心は $(r,r,r)$ である。ここで $r>0$。

平面 $ABC$ の法線ベクトルは $\mathbf n=(2,2,1)$ で、その長さは $3$ である。したがって点 $(r,r,r)$ から平面 $ABC$ までの距離は $$\displaystyle d=\frac{|2r+2r+r-2|}{3}=\frac{|5r-2|}{3}.$$ （この距離公式は、垂線の方向が $\mathbf n$ であることと、内積 $\mathbf n\cdot\mathbf n=9$ から得られる。）

内接球の中心は四面体の内部にあるので $5r-2<0$、すなわち $r<2/5$ である。平面 $ABC$ にも接するから $d=r$ であり、 $$\displaystyle \frac{2-5r}{3}=r\quad\text{ならば}\quad r=\frac14.$$ この値は $0<r<2/5$ を満たす。よって求める中心は $$\displaystyle \boxed{\left(\frac14,\frac14,\frac14\right)}.$$

(2) 同様に、条件を満たす球の中心と半径は $(r,r,r)$、$r>0$ であり、平面 $ABC$ までの距離は $d=|5r-2|/3$ である。球と平面が円で交わる条件は $d<r$ だから、 $$\displaystyle |5r-2|<3r \quad\text{すなわち}\quad -3r<5r-2<3r \quad\text{すなわち}\quad \frac14<r<1.$$ 交わりの円の半径を $\rho$ とすると、中心から平面へ下ろした垂線により $$\displaystyle \rho^2=r^2-d^2 =r^2-\frac{(5r-2)^2}{9} =\frac{-16r^2+20r-4}{9} =\frac14-\frac{16}{9}\left(r-\frac58\right)^2.$$ したがって $\rho^2$ は $r=5/8$ で最大値 $1/4$ をとる。この値は $1/4<r<1$ の範囲内にあり、実際 $d=3/8<5/8$ なので円ができる。よって面積の最大値は $$\displaystyle \boxed{\pi\rho^2=\frac{\pi}{4}}.$$