4九州大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1)　 $n=2$のとき $f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\quad(a_{2}\neq0)$であり，$f'(x)=2a_{2}x+a_{1}$である。

$\alpha\ne\beta$なる複素数$\alpha$,$\beta$に対して$\beta^2-\alpha^2=(\beta-\alpha)(\alpha+\beta)$だから

$f(\beta)-f(\alpha)=a_2(\beta^2-\alpha^2)+a_1(\beta-\alpha)=(\beta-\alpha)\{a_2(\alpha+\beta)+a_1\}$.

$\beta-\alpha\ne0$で両辺を割ると

$\displaystyle \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=a_2(\alpha+\beta)+a_1$　$\cdots$($\ast$)

ここで$\displaystyle \gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$とおくと

$\displaystyle f'(\gamma)=2a_2\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}+a_1=a_2(\alpha+\beta)+a_1$

となり($\ast$)の右辺と一致する。$\displaystyle \gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}$は複素数平面上で2点$\alpha$,$\beta$を結ぶ線分の中点であり，線分$\alpha$$\beta$上にある（$\displaystyle t=\tfrac12$に対応する点）。

したがって，$n=2$のときはどのような $a_2,a_1,a_0$ $(a_2\ne0)$ および相異なる複素数$\alpha$,$\beta$に対しても，この$\gamma$が常に条件式を満たすから，$f(x)$は必ず平均値の性質をもつ。　　■

(2)　 $\alpha=1-i,\quad\beta=1+i$なので

$\beta-\alpha=2i,\quad\alpha+\beta=2,\quad\alpha\beta=(1-i)(1+i)=1-i^2=2$.

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ ($a,b,c$は実数)とする。$\beta^{3}-\alpha^{3}=(\beta-\alpha)(\beta^{2}+\alpha\beta+\alpha^{2})$であり，

$\beta^2=(1+i)^2=2i,\quad\alpha^2=(1-i)^2=-2i$より $\beta^{2}+\alpha\beta+\alpha^{2}=2i+2-2i=2$.

また $a(\beta^{2}-\alpha^{2})=a(\beta-\alpha)(\alpha+\beta)$であり，cの項は消えるので

$\displaystyle \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=2+2a+b$　　$\cdots$($\mathrm{A}$) (実数)

線分$\alpha$$\beta$は，2点の実部がともに1，虚部が-1から1まで動く縦の線分だから，その上の点は

$\gamma=1+yi$　($-1\le y\le1$ を満たす実数 y)

と表せる。$\gamma^{2}=(1+yi)^{2}=(1-y^{2})+2yi$であるから

$f'(\gamma)=3\gamma^2+2a\gamma+b=(3-3y^2+2a+b)+(6y+2ay)i$　　$\cdots$($\mathrm{B}$)

$(\mathrm{A})=(\mathrm{B})$の実部・虚部を比較すると

実部：$\displaystyle 3-3y^2+2a+b=2+2a+b\quad\text{すなわち}\quad y^2=\frac13$

虚部：$6y+2ay=0\quad\text{すなわち}\quad 2y(3+a)=0$

$\displaystyle y^{2}=\frac13$より $y\ne0$であるから，虚部の式が成り立つためには$a=-3$が必要である。

逆に$a=-3$のとき，虚部の式は任意の実数yについて成り立ち，$\displaystyle y=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ （$-1\le y\le1$ を満たす）をとれば実部の式$\displaystyle y^{2}=\tfrac13$も満たされ，

$\displaystyle \gamma=1\pm\dfrac{i}{\sqrt3}$は線分$\alpha$$\beta$上にあって条件を満たす。このときb,cの値にはよらない。

したがって，求める必要十分条件は

$\boxed{a=-3\ (b,c\text{は任意の実数})}$　　■

(3)　 $\displaystyle \alpha=\dfrac{1-i}{\sqrt2}=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right),\quad \beta=\dfrac{1+i}{\sqrt2}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}$

より$|\alpha|=|\beta|=1$で，$\displaystyle \alpha\beta=\dfrac{(1-i)(1+i)}{2}=1$だから$\displaystyle \beta=\dfrac1\alpha$ (=$\overline{\alpha}$)である。$f(x)=x^7$に対して

$\displaystyle \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\frac{\beta^{7}-\alpha^{7}}{\beta-\alpha}=\sum\limits _{k=0}^{6}\beta^{\,6-k}\alpha^{k}$

$\alpha=\beta^{-1}$を用いると$\beta^{6-k}\alpha^{k}=\beta^{6-2k}$なので，和は $k=0,\dots,6$ に対応する $\beta^{6},\beta^{4},\beta^{2},\beta^{0},\beta^{-2},\beta^{-4},\beta^{-6}$ の和である。

$\beta=e^{i\pi/4}$より（ド・モアブルの定理） $\beta^{2}=i,\quad\beta^{4}=-1,\quad\beta^{6}=-i,\quad\beta^{-2}=-i,\quad\beta^{-4}=-1,\quad\beta^{-6}=i$であるから

$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{6}\beta^{6-2k}=(-i)+(-1)+i+1+(-i)+(-1)+i=-1$.

したがって $\displaystyle \dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=-1$である。

線分$\alpha$$\beta$は，2点の実部がともに$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt2}$，虚部が-$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt2}$から$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt2}$まで動く縦の線分だから，その上の点は

$\displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt2}+wi,\quad\left(-\frac1{\sqrt2}\le w\le\frac1{\sqrt2}\text{ を満たす実数 }w\right)$

と表せる。もし平均値の性質をもつなら，このような$\gamma$のうち$f'(\gamma)=7\gamma^{6}=-1$，すなわち$\displaystyle \gamma^{6}=-\frac17$を満たすものが存在するはずである。

$z=\sqrt2\,\gamma\quad\bigl(=1+ti,\quad t=\sqrt2\,w,\quad -1\le t\le1\bigr)$とおくと$\displaystyle \gamma^{6}=\dfrac{z^{6}}{8}$だから，この条件は $\displaystyle z^{6}=-\dfrac{8}{7}$と同値である。

二項定理により$(1+ti)^{3}=1+3ti+3t^{2}i^{2}+t^{3}i^{3}=(1-3t^{2})+(3t-t^{3})i$であるから，

$A=1-3t^2,\quad B=3t-t^3=t(3-t^2)$とおくと$(1+ti)^{3}=A+Bi$で

$z^6=(A+Bi)^2=(A^2-B^2)+2ABi$

$z^{6}$が実数$\displaystyle -\frac87$になるためには虚部が0，すなわち $AB=0$が必要で，$A=0$または$B=0$である。

(i) $B=0$のとき：実部の条件は $\displaystyle A^2-B^2=A^2=-\frac87$となるが，$A^2\ge0$よりこれは不可能。

(ii) $A=0$のとき：$1-3t^2=0$より $\displaystyle t^2=\frac13$で，$\displaystyle B=t\left(3-\dfrac13\right)=\dfrac83 t$だから

$\displaystyle B^2=\frac{64}{9}t^2=\frac{64}{9}\cdot\frac13=\frac{64}{27}$.

このとき実部の条件は$\displaystyle -B^{2}=-\dfrac{64}{27}=-\dfrac87$を要求するが，$\displaystyle \dfrac{64}{27}=\dfrac{448}{189}\ne\dfrac{216}{189}=\dfrac87$だから成り立たない。

したがって，いかなる実数tに対しても $\displaystyle z^6=-\frac87$ とはならず（範囲を $\displaystyle -\tfrac1{\sqrt2}\le w\le\tfrac1{\sqrt2}$，すなわち$-1\le t\le1$に制限しても同じ結論），$\displaystyle \gamma^{6}=-\dfrac17$を満たす$\gamma$は，線分$\alpha$$\beta$上（さらには直線$\displaystyle \mathrm{Re}(z)=\tfrac1{\sqrt2}$上のどこにも）存在しない。

よって$\displaystyle \dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma)$を満たす線分$\alpha$$\beta$上の点$\gamma$は存在せず，$f(x)=x^7$は$\alpha$,$\beta$に対して平均値の性質をもたない。　　■