6山形大学 2017年 数学 第6問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\text{ なので、}w=z-i\text{ とすると} w_k=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\right)\quad(k=0,1,2,3). \text{各 }w_k\text{ に }i\text{ を加えて虚部の大きい順に並べると、} z_1=-\frac12+\frac{2+\sqrt3}{2}i,\quad z_2=\frac{\sqrt3}{2}+\frac32i,\quad z_3=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i,\quad z_4=\frac12+\frac{2-\sqrt3}{2}i. \text{(2) } \frac{z_1}{z_2}=\frac{-1+(2+\sqrt3)i}{\sqrt3+3i} =\frac{3+\sqrt3}{6}(1+i)\text{ だから、} \left\{(3-\sqrt3)\frac{z_1}{z_2}\right\}^{10} =(1+i)^{10}=\bigl((1+i)^2\bigr)^5=(2i)^5=32i. \text{(3) 距離比の2乗を }T(s)\text{ とおくと、} T(s)=\frac{|z_3-s|^2}{|z_2-s|^2} =\frac{s^2+\sqrt3s+1}{s^2-\sqrt3s+3}. \text{分母は }(s-\frac{\sqrt3}{2})^2+\frac94>0\text{。微分すると} T'(s)=\frac{-2\sqrt3s^2+4s+4\sqrt3}{(s^2-\sqrt3s+3)^2} =\frac{-2\sqrt3(s-s_-)(s-s_+)}{(s^2-\sqrt3s+3)^2}, \quad s_\pm=\frac{1\pm\sqrt7}{\sqrt3}. \text{したがって }T\text{ は }s<s_-\text{ で減少し、}s_-<s<s_+\text{ で増加し、}s>s_+\text{ で減少する。さらに }\lim\limits _{s\to\pm\infty}T(s)=1\text{ で、} T(s_+)-1=\frac{2\sqrt3s_+-2}{s_+^2-\sqrt3s_++3}>0. \text{よって大域的最大は }s=s_+=\frac{1+\sqrt7}{\sqrt3}\text{ で達成される。距離比は }\sqrt{T(s)}\text{ なので最大となる }s\text{ も同じである。} 複素数の極形式で4乗根を求め、虚部の順に並べる。最後は距離比の2乗を実変数の有理関数に変換し、商の微分と増減・無限遠での極限から最大位置を決める。$$