3山形大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) 余弦定理より $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b =\frac{|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec a-\vec b|^2}{2} =\frac{16+25-36}{2} =\frac52.$$

(2) 角の二等分線の定理から $AE:EB=AC:CB=4:5$ である。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{CE}=\frac{5\vec a+4\vec b}{9}.$$ これと $\displaystyle |\vec a|=4,\ |\vec b|=5,\ \vec a\cdot\vec b=\frac52$ より $$\displaystyle |\overrightarrow{CE}|^2 =\frac{25|\vec a|^2+40(\vec a\cdot\vec b)+16|\vec b|^2}{81} =\frac{400+100+400}{81} =\frac{100}{9}, \qquad |\overrightarrow{CE}|=\frac{10}{3}.$$

(3) $\vec d=\overrightarrow{CD}$ とおく。DはCA、CBの垂直二等分線上にあるので $$|\vec d-\vec a|^2=|\vec d|^2,\qquad |\vec d-\vec b|^2=|\vec d|^2.$$ よって $\displaystyle \vec d\cdot\vec a=8,\ \vec d\cdot\vec b=\frac{25}{2}$ である。$\vec d=x\vec a+y\vec b$ とおけば $$\displaystyle 16x+\frac52y=8,\qquad \frac52x+25y=\frac{25}{2},$$ したがって $\displaystyle x=\frac37,\ y=\frac{16}{35}$ となる。ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{CD}=\frac37\vec a+\frac{16}{35}\vec b.$$ また $$\displaystyle \overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CE} =\frac59(\overrightarrow{CD}\cdot\vec a) +\frac49(\overrightarrow{CD}\cdot\vec b) =\frac{40}{9}+\frac{50}{9} =10.$$

(4) $\overrightarrow{CP}=s\overrightarrow{CE}$ とおく。$DP\perp CE$ より $$\displaystyle (\overrightarrow{CD}-s\overrightarrow{CE})\cdot\overrightarrow{CE}=0, \qquad s=\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CE}} {|\overrightarrow{CE}|^2} =\frac{10}{100/9} =\frac9{10}.$$ したがって $0<s<1$ でPは線分CE上にあり、 $$\displaystyle \overrightarrow{CP} =\frac9{10}\overrightarrow{CE} =\frac{5\vec a+4\vec b}{10} =\frac12\vec a+\frac25\vec b.$$

辺長から内積を求め、角の二等分線の内分比と垂直二等分線の等距離条件をベクトルで表す。最後にCEへの正射影でPを求める。